2023　茨城大学　後期理(物理学科)学部総合問題MathJax

【１】　$\theta$を媒介変数とする曲線$C$

$\{\begin{array}{l}x=\sin 2\theta \cos \theta \\ y=\sin 2\theta \sin \theta \end{array}$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．図１のように，曲線$C$が直線$y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}$と交わる点のうち，原点と異なる点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$\theta$の値を$\alpha$とする．以下の問に答えよ．解答は導出過程も含めて記述せよ．必要であれば，${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-\cos 2\theta )$を用いてよい．

問１　$\alpha$を求めよ．

問２　曲線$C$の形状について，以下の(1)，(2)に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}$および${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}$を求めよ．

(2)　(1)の結果を利用して，曲線$C$について，$0\leqq \theta \leqq \alpha$の範囲で${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}\geqq 0$となることを示せ．

問３　曲線$C$で囲まれた部分のうち，$y\leqq {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}$を満たす部分（図１の斜線部分）の面積を$S$とする．この$S$を，以下の手順で求めよ．

(1)　次の$2$つの定積分を計算せよ．

$I_1={\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}{\sin }^{2}2\theta \cos 2\theta \mathit{d\theta }\text{，}$$I_2={\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}{\sin }^{2}2\theta {\sin }^2\theta \mathit{d\theta }$

(2)　(1)の結果を利用して$S$を求めよ．