2023　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文MathJax

2023-10161-0401

2023　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文

易□　並□　難□

【１】　 $i$ を虚数単位とする． $α = 2 + 2 i ，$ $β = 1 - i$ とし，複素数平面上で $α ，$ $β$ を表す点をそれぞれ $A ，$ $B$ とする．以下の各問に答えよ．ただし，複素数 $z$ に対して，その偏角を $\arg z$ で表す．

(1)　 $α z_{1} = 8$ を満たす複素数 $z_{1}$ を求めよ．

(2)　点 $A$ を中心に点 $B$ を $\frac{π}{3}$ だけ回転した点を表す複素数 $z_{2}$ を求めよ．

(3)　 $\arg (z_{3} - 1) = \frac{π}{4}$ かつ $| z_{3} | = \sqrt{13}$ を満たす複素数 $z_{3}$ を求めよ．

(4)　 $z_{1} ，$ $z_{2} ，$ $z_{3}$ をそれぞれ(1)，(2)，(3)で求めたものとする．複素数平面上で $z_{1} ，$ $z_{2} ，$ $z_{3}$ を表す点をそれぞれ $C ，$ $D ，$ $E$ とする．五角形 $ABCDE$ の面積 $S$ を求めよ．

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2023　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文

易□　並□　難□

【２】　 $f (x) = e^{- \sin x} \cos x + \frac{1}{e} (x - \frac{π}{2})$ とする．以下の各問に答えよ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．

(1)　導関数 $f^{'} (x)$ と第 $2$ 次導関数 $f^{″} (x)$ を求めよ．

(2)　 $0 ≦ x ≦ π$ のとき，不等式 $f^{'} (x) ≦ 0$ が成り立つことを証明せよ．

(3)　区間 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ において， $x$ 軸， $y$ 軸および曲線 $y = f (x)$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　 $1$ 個のさいころを $2$ 回続けて投げ， $1$ 回目に出た目を $a ，$ $2$ 回目に出た目を $b$ とするとき，座標平面上に点 $(a, b)$ をとるものとする．また，円 $x^{2} + y^{2} = 5$ を $C$ とする．以下の各問に答えよ．

(1)　点 $(a, b)$ を通り円 $C$ に接する直線が存在しないような組 $(a, b)$ は何通りあるか．また，ただ $1$ つ存在するような組 $(a, b)$ は何通りあるか．

(2)　 $a b = 3$ のとき，点 $(a, b)$ を通り円 $C$ に接する直線の傾きを $m$ とする． $m$ のとり得る値をすべて求めよ．

(3)　点 $(a, b)$ を通り円 $C$ に接する直線の傾きが有理数となるような組 $(a, b)$ は何通りあるか．

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