2023　筑波技術大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　$x^2-{(4y-1)}^2$を因数分解しなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(2)　次の等式を満たす実数$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

$(1+2i)a+(9+2i)b=12+8i$

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(3)　次の関係が成立するとき，$n$の値を求めなさい．ただし，左辺は$8$進数，右辺は$n$進数で表された数である．

${102}_{(8)}={231}_{(n)}$

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(4)　$50$以下の自然数について考える．$3$で割って余りが$2$となる数の集合を$A\text{，}$$5$で割って余りが$1$となる数の集合を$B$とする．このとき，$A\cap B$を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(5)　ある高校の$3$年生の$2$つのクラス$\mathrm{A}$組と$\mathrm{B}$組（生徒数はそれぞれ$30$人）で数学の試験を$100$点満点で実施した結果，箱ひげ図が右図のようになった．このとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　$\mathrm{A}$組で最も高い得点を答えなさい．

(b)　半数以上の生徒が$50$点以上の成績となった組を理由とともに答えなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　次の不等式を計算しなさい．

$|x+1|\leqq 5$

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(2)　$\cos 15\mathrm{°}\sin 75\mathrm{°}$の値を求めなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(3)　円$\mathrm{O}$に内接する三角形$\mathrm{ABC}$があり，円周上の点$\mathrm{A}$における接線と線分$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{BC}=\mathrm{CP}=\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(4)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2{\cos }^2\theta -2\cos \theta +1$の最大値を求めなさい．また，そのときの$\theta$の値を求めなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(5)　実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$について，$2$つの式${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=1\text{，}$$2^x=3^y=z$が成り立つとき，$z$の値を求めなさい．ただし，$x\ne 0\text{，}$$y\ne 0$とする．

【３】　$2$次関数$f(x)=3x^2+6x+k$$\text{（}k$は定数）について，以下の各問いに答えなさい．

(1)　放物線$y=f(x)$の頂点と軸を求めなさい．

(2)　放物線$y=f(x)$が$x$軸と一つだけ共有点を持つとき，$k$の値を求めなさい．

(3)　放物線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1\text{，}$$y$軸方向に$3-k$だけ平行移動したときの放物線の方程式を求めなさい．

(4)　放物線$y=f(x)$上の$x=1$の点における接線が原点を通るときの$k$の値を求めなさい．

(5)　$k=-9$のとき，$x$軸と放物線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【４】　横$1$列に並んだマス目に$3$色のコマを置いていくことを考える．マスには左から順に$1$番から$6$番まで番号がついている．$1$つのマスにはコマを$1$つだけ置くことができる．コマの色は白，黒，赤のいずれかである．連続した番号のマスにコマが$2$つ置かれているとき，この$2$つは隣接しているという．

　このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$1$番から$3$番までのマス目に，白，黒，赤のコマを$1$つずつ，計$3$つを置くときのコマの並べ方は全部で何通りあるか求めなさい．

(2)　$1$番から$5$番までのマス目に，白，黒，赤のコマを$1$つずつ，計$3$つを置くときのコマの並べ方は全部で何通りあるか求めなさい．

(3)　$1$番から$6$番までのマス目に，白のコマを$2$つと黒，赤のコマを$1$つずつ，計$4$つのコマを置くとき，白のコマを隣接して置く並べ方は全部で何通りあるか求めなさい．

(4)　$1$番と$2$番のマスにそれぞれコマを置く．$1$つのマスにコマを置くときにそれぞれの色のコマが選ばれる確率は，白が${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$黒が${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$赤が${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．置いた$2$つのコマが同じ色である確率を求めなさい．

(5)　$1$番から$6$番までのマス目に$2$つのコマを置く．コマを置く場所の選び方は，空いているマスすべてについて同じ確率であるとする．コマの色が選ばれる確率が(4)と同じであるとき，同じ色のコマが隣接している確率を求めなさい．

【５】　座標平面上の円$\mathrm{O}$を$x^2+y^2=25$とし，直線$l$を$y=kx+10$$\text{（}k$は定数）とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　円$\mathrm{O}$と直線$l$が$2$点で交わるとき，$k$の値の範囲を求めなさい．

(2)　点$(0,10)$を通る円$\mathrm{O}$の接線を求めなさい．

(3)　円$\mathrm{O}$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標が，それぞれ$\mathrm{A}$$(-5,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(c,d)$であり，線分$\mathrm{AB}$の長さが$2\sqrt{5}$であるとき，$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．ただし，$d>0$とする．

(4)　(3)の$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と円$\mathrm{O}$上の点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{\angle APB}=\theta$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}\text{）}$とするとき，$\sin \theta$の値を求めなさい．

(5)　(4)の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$について，$\mathrm{▵PAB}$の面積が$20$であるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．