2023　宇都宮大学　共同教育学部数学分野推薦小論文MathJax

2023　宇都宮大学　共同教育学部数学分野推薦小論文

易□　並□　難□

【１】　関数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ について，次の問いに答えよ．ただし， $a ，$ $b$ は定数とする．

問１　 $\int_{x}^{- 1} f (t) dt$ を $x$ の多項式で表せ．

問２　 $\int_{1}^{x} x f (t) dt$ を $x$ の多項式で表せ．

問３　すべての実数 $x$ に対し，等式

$\int_{1}^{x} x f (t) dt = \int_{x}^{- 1} f (t) dt + \frac{x^{4}}{3} + 1$

が成り立つとき，定数 $a ，$ $b$ の値を定めよ．

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【２】　容器に濃度 $7$ パーセントの食塩水が $900$ グラム入っている．このとき，次の問い答えよ．

問１　次の操作(A)を $n$ 回 $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ 繰り返したとき，容器に含まれる食塩の量を $a_{n}$ グラムとする．

(A)　容器内の食塩水に，濃度 $2$ パーセントの別の食塩水を $300$ グラム加えてかき混ぜる．

　このとき， $a_{1}$ および $a_{2}$ の値を調べよ．また， $a_{n}$ を $n$ の式で表せ．

問２　次の操作(B)を $n$ 回 $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ 繰り返したとき，容器に含まれる食塩の量を $b_{n}$ グラムとする．

(B)　容器から食塩水を $300$ グラム排出した後，容器内に残った食塩水に水を $300$ グラム加えてかき混ぜる．

　このとき， $b_{1}$ および $b_{2}$ の値を調べよ．また， $b_{n}$ を $n$ の式で表せ．

問３　次の操作(C)を $n$ 回 $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ 繰り返したとき，容器に含まれる食塩の量を $c_{n}$ グラムとする．

　このとき， $c_{1}$ および $c_{2}$ の値を調べよ．また， $c_{n}$ を $n$ の式で表せ．

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【３】　座標平面上の $3$ 点 $O ，$ $A ，$ $P$ に対し， $\vec{OA} = \vec{a} ，$ $\vec{OP} = \vec{p}$ とおく．ただし， $O$ は原点で， $A \neq O$ とする．実数 $t$ に対し

$f (t) = | t \vec{a} - \vec{p} |$

とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　 ${f (t)}^{2} = α t^{2} + β t + γ$ とおくとき， $α ，$ $β ，$ $γ$ を $\vec{a} ，$ $\vec{p}$ の式で表せ．

問２　 $f (t)$ を最小にするような実数 $t$ の値を $t_{0}$ とするとき， $t_{0}$ および $f (t_{0})$ を $\vec{a} ，$ $\vec{p}$ の式で表せ．

問３　点 $A$ の座標を $(2, 1)$ とし，点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする． $t_{0}$ を問２で得られたものとするとき， $f (t_{0}) = 0$ を満たす点 $P$ の範囲を座標平面上に図示せよ．

問４　点 $A$ の座標を $(2, 1)$ とし，点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする．不等式 $f (t) > \sqrt{5}$ がすべての実数 $t$ に対して成り立つような点 $P$ の範囲を座標平面上に図示せよ．

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【４】　次の問いに答えよ．

問１　式の展開公式 $(x + a) (x + b)$ $= x^{2}$ $+ (a + b) x + a b$ は，右の図を使って説明することができる．

　次の式の展開公式

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

を，図を使って説明せよ．

問２　数学の問題解決において，式と図を関連づけて考えることの意義について，あなたの経験を踏まえて $400$ 字以内で述べよ．