2023　群馬大学　前期MathJax

【１】　$a$は定数とし，関数$f(x)=|x^2-ax|+\left|a\right|$を考える．関数$f(x)$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値を$M$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$a\leqq 0$のとき，$M$を$a$の式で表せ．

(2)　$a>0$で$M=f\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)$となるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

【２】　方程式

$2x^4+C{x}^3$$+(A+3)x^2+(B-A)x-B=0$

が$4$つの解$1\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$をもつとき，以下の問に答えよ．ただし，定数$A\text{，}$$B\text{，}$$C$は実数とする．

(1)　$C$を求めよ．

(2)　${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$を$A$を用いて表せ．

(3)　$\alpha =1+2i$であるとき，$\beta$と$\gamma$を求めよ．ただし，$\gamma$は実数とする．

【３】　底面が平行四辺形$\mathrm{OABC}$である四角錐$\mathrm{D‐OABC}$を考え，点$\mathrm{X}$を線分$\mathrm{BD}$を$2:1$に内分する点，点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{AD}$上の点，点$\mathrm{Q}$を線分$\mathrm{CD}$上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$として，以下の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵ACD}$を含む平面と直線$\mathrm{OX}$との交点を$\mathrm{Y}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OY}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(3)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一平面上にあるとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}}\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$であることを示せ．

【４】　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$2$つの関数$x=\cos \theta +\sin \theta \text{，}$$y=\cos (2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})-cos(\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$について，以下の問に答えよ．

(1)　$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$y$を$x$の関数で表せ．

(3)　$y$の最大値と最小値を求めよ．

【５】　関数$f(x)=e^{-x}\sin 2x$について以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　$f(x)$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$が$x=a$で最大となるとき，$\tan a$を求めよ．

(3)　$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}$とすると$I=2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-x}\cos 2x\mathit{dx}$となることを示せ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【５】　$3$次関数$f(x)$は常に$f(-x)=-f(x)$を満たし，$x=1$のときに極大値$2$をとる．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分のうち，$y\geqq 0$の領域にある部分を$D$とする．直線$y=ax$が$D$の面積を$2$等分するように$a$の値を定めよ．

【２】　平面上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$間のそれぞれの距離が$\mathrm{AB}=4x\text{，}$$\mathrm{BC}=x^2+3\text{，}$$\mathrm{CA}=x^2+2x-3$となっている．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}+\mathrm{CA}>\mathrm{BC}$となる$x$の条件を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする三角形が存在するための$x$の条件を求めよ．

(3)　$x$が(2)の条件をみたすとき，$\mathrm{\angle A}$の大きさを求めよ．

(4)　$x$が(2)の条件をみたすとき，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大小関係を明らかにせよ．

【６】　関数$f(x)=e^{-x}\sin 2x$について以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}$とすると$I=2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-x}\cos 2x\mathit{dx}$となることを示せ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　$a\text{，}$$b$を$0<\left|a\right|<\left|b\right|$を満たす実数とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$|x^3-a^3|+|x^3-b^3|=|a^3-b^3|$を満たす実数$x$をすべて求めよ．

(2)　$n$が正の偶数のとき，$|x^n-a^n|+|x^n-b^n|$$=|a^n-b^n|$を満たす実数$x$をすべて求めよ．

【２】　以下の問に答えよ．

(1)　次の方程式の整数解をすべて求めよ．

$20x+23y=1$

(2)　${461}^m-24$が${23}^2$の倍数になる正の整数$m$をすべて求めよ．

【３】　底面が平行四辺形$\mathrm{OABC}$である四角錐$\mathrm{D‐OABC}$を考え，点$\mathrm{X}$を線分$\mathrm{BD}$を$2:1$に内分する点，点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{AD}$上の点，点$\mathrm{Q}$を線分$\mathrm{CD}$上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$として，以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ACD}$を含む平面と直線$\mathrm{OX}$との交点を$\mathrm{Y}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OY}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　$s={\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}}$とする．$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一平面上にあるとき，$s$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$が一致するときは$\mathrm{AP}=0$とする．

(3)　底面$\mathrm{OABC}$が正方形であり，四角錐$\mathrm{D‐OABC}$のすべての辺の長さが$1$である場合に，(2)の条件のもとで$\mathrm{▵DPQ}$の面積の最小値を求めよ．

【４】　$e$を自然対数の底とし，$\pi$を円周率とする．以下の問に答えよ．

(1)　$e\leqq x<y$のとき，不等式$y\log x>x\log y$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$3$つの数$3^{2\sqrt{2}\pi }\text{，}$${\pi }^{6\sqrt{2}}\text{，}$$2^{\frac{9}{2}\pi }$の大小関係を明らかにせよ．

【５】　$xy$平面上において，不等式${(y{e}^x)}^2\leqq {(\sin 2x)}^2\text{，}$$0\leqq x\leqq \pi$の表す領域を$D$とし，領域$D$と直線$x=a$の共通部分の線分の長さを$l(a)$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$l(a)$が$a=a_0$で最大となるとき，$\tan a_0$の値を求めよ．

(2)　領域$D$の面積を求めよ．