2023　群馬大学　推薦共同教育学部小論文MathJax

【１】　$n$を自然数とする．次の問に答えよ．

(1)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{2n}}$は何を表しているか，$y=\sin x$のグラフを利用して図示し説明せよ．

(2)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{2n}}$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を次で定める：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{x}}+\log (x^2+1)& \text{（}x\ne 0\text{），}\\ 0& \text{（}x=0\text{）．}\end{array}$

(1)　方程式$f(x)=1$が正の実数解を持たないことを示せ．

(2)　以下の文章(A)では，誤った議論により(1)に反する結論を導いている．中間値の定理の内容を説明した上で，(A)の議論がどのように誤っているか論述せよ．

(A)「$f(0)=0<1$および$f(1)=1+\log 2>1$が成り立つ．従って，中間値の定理より，方程式$f(x)=1$は$0<x<1$の範囲に少なくとも$1$つの実数解を持つ．」

(3)　中間値の定理を用いて，方程式$f(x)=1$が実数解を持つことを説明せよ．

【３】　$x$を$0$以上の実数として，$2$つの複素数$z\text{，}$$w$を$z=x+2i\text{，}$$w=x+1+i$とする$\text{（}i$は虚数単位）．$x$を変化させるとき常に$\left|w\right|-\left|z\right|<1$であることを示せ．