2023　群馬大学　推薦情報学部小論文MathJax

2023-10201-0401

2023　群馬大学　推薦情報学部小論文

理系型

易□　並□　難□

【１】　次の文章を読んで，問１-１，１-２，１-３，１-４に答えよ．

　二つの自然数の和と積を比較すると，積の方が大きくなることが多い．しかし，例えば $2 + 2 = 2 \times 2$ のように，和と積が等しくなるような二つの自然数の組み合わせも存在する．このような性質を持つ二つの自然数の組み合わせは，他にもあるのだろうか．あるとしたら何通りの組み合わせがあるだろうか．

　二つの自然数 $a_{1} ，$ $a_{2}$ が

$1 ≦ a_{1} ≦ a_{2}$ (1)

$a_{1} + a_{2} = a_{1} a_{2}$ (2)

を満たすとする．

問１-１　以下は(1)と(2)を満たす自然数を求めるための解法である．空欄１から空欄６を埋めて全体を完成させよ．空欄５と空欄６は複数の文章が入ってもよい．

【解法】

　(1)より

$a_{1} + a_{2} ≦ a_{2} + a_{2} = 2 a_{2}$ (3)

を得る．(2)と(3)より

$a_{1} a_{2} = a_{1} + a_{2} ≦ １$

を得る． $a_{2}$ は $0$ ではないので， $a_{1} ≦ ２$ が成り立つ． $a_{1}$ は自然数なので， $a_{1}$ は $３$ または $４$ である．

　 $a_{1} = ３$ のときを考える． $５$

　 $a_{1} = ４$ のときを考える． $６$

【解法ここまで】

問１-２　和と積が等しくなるような二つの自然数の組み合わせは $2 + 2 = 2 \times 2$ 以外に存在するか答えよ．

問１-３　この問題を三つの自然数に一般化する．すなわち，

$1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3}$ (4)

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = a_{1} a_{2} a_{3}$ (5)

の二つの性質を満たす自然数 $a_{1} ，$ $a_{2} ，$ $a_{3}$ の組み合わせが存在するかどうかについて答えよ．存在する場合は，その組み合わせが何通りあるかも答えよ．

問１-４　三つの自然数 $b_{1} ，$ $b_{2} ，$ $b_{3}$ に対して，和と積の比 $\frac{b_{1} + b_{2} + b_{3}}{b_{1} b_{2} b_{3}}$ が取りうる値の最大値を求めよ．

2023-10201-0402

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理系型

易□　並□　難□

【２】　次の文章を読んで，問２-１から２-７に答えよ．

　正方形を組み合わせた図(a)の図形について，点 $s$ から点 $t$ までの道について考察する．下記の問題に答えよ．


図(a)	図(b)	図(c)

問２-１　辺を上方向に $1$ 本進むときは $U$ と記述し，右方向に $1$ 本進むときは $R$ と記述すると，図(b)の矢印で示された道は記号列 $UURURUR$ と表すことができる．点 $s$ から点 $t$ への，上方向もしくは右方向のみに進む，ちょうど $7$ 本の辺をたどる道は，いずれも， $U$ を $4$ 個含み $R$ を $3$ 個含むような合計 $7$ 個の記号からなる記号列に対応する．そのような道の総数を計算せよ．答えを導き出した過程を説明すること．

問２-２　下記の空欄を埋めよ．答えを導き出した過程を説明すること．

　図(c)において点 $s$ から点 $t$ への，上方向もしくは右方向のみに進む，ちょうど $7$ 本の辺をたどる道は，点 $p$ と点 $q$ のいずれか一方のみを含むことより， ${}_{6}C_{3} +$ 本ある．


図(d)	図(e)	図(f)

問２-３　図(d)において，点 $s$ から点 $t$ への，上方向もしくは右方向のみに進む，ちょうど $9$ 本の辺をたどる道は，点 $a$ と点 $b$ のいずれか一方のみを含む．そのような道の総数を計算せよ．答えを導き出した過程を説明すること．

問２-４　図(e)において，点 $x$ を通らないような，点 $s$ から点 $t$ への，上方向もしくは右方向のみに進む，ちょうど $9$ 本の辺をたどる道の総数を計算せよ．答えを導き出した過程を説明すること．

問２-５　図(f)において，点 $x$ と点 $y$ のちょうど一方のみを通り，他方を通らないような，点 $s$ から点 $t$ への，上方向もしくは右方向のみに進む，ちょうど $9$ 本の辺をたどる道の総数を計算せよ．答えを導き出した過程を説明すること．

問２-６　図(f)において，辺 $e$ を通らない，点 $s$ から点 $t$ への，上方向もしくは右方向のみに進む，ちょうど $9$ 本の辺をたどる道の総数を計算せよ．答えを導き出した過程を説明すること．

問２-７　図(f)において，点 $s$ から点 $t$ へのちょうど $12$ 本の辺をたどる道の総数を計算せよ．答えを導き出した過程を説明すること．この問題のみは，上方向と右方向に加えて，下方向や左方向へ進んでもよいとする．

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