2023　埼玉大学　前期(経済，教育学部)MathJax

【１】　実数$r$は正の定数であり，平面上の半径が$r$である円の周の上に$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$があるとする．この場合に，以下の問に答えなさい．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$について，不等式$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}\leqq 4r^2$が成り立つことを証明しなさい．

(2)　点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$の中点を$\mathrm{M}$とする．内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$について，等式$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}={\left|\overrightarrow{\mathrm{MP}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\right|}^2$が成り立つことを証明しなさい．

(3)　等式$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|$が成り立つときに，内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$について，不等式$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2$が成り立つことを証明し，また，等式$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2$を成り立たせるような$\mathrm{\angle QPR}$の大きさを求めなさい．

【２】　整数$n$は$1$以上であるとする．この場合に，以下の問に答えなさい．

(1)　$k$が$0$以上$n$以下の整数であるとき，不等式${}_{n}C_k\leqq n^k$が成り立つことを証明しなさい．

(2)　$n$が$3$以上であるとき，不等式$n^2+1<n^n$が成り立つことを証明しなさい．

(3)　$n$が$3$以上であるとき，不等式${\log }_n(n+1)<{\displaystyle \frac{n+1}{n}}$が成り立つことを証明しなさい．

【３】　$1$個のさいころを投げた場合にどの目が出ることも同様に確からしいものとする．このことを(2)と(3)の前提として，以下の問に答えなさい．

(1)　整数$m\text{，}$$n$を$6$で割ったときの余りを，それぞれ，$r\text{，}$$s$とする．積$mn$を$6$で割ったときの余りと積$rs$を$6$で割ったときの余りが等しいことを証明しなさい．

(2)　$1$個のさいころを$2$回続けて投げ，第$1$回目に出た目の数を$X$とし，第$2$回目に出た目の数を$Y$とする．積$XY$を$6$で割ったときの余りが$0$となる事象が起こる確率を$p_0\text{，}$積$XY$を$6$で割ったときの余りが$1$となる事象が起こる確率を$p_1\text{，}$積$XY$を$6$で割ったときの余りが$2$となる事象が起こる確率を$p_2\text{，}$積$XY$を$6$で割ったときの余りが$3$となる事象が起こる確率を$p_3\text{，}$積$XY$を$6$で割ったときの余りが$4$となる事象が起こる確率を$p_4\text{，}$および，積$XY$を$6$で割ったときの余りが$5$となる事象が起こる確率を$p_5$とする．$p_0\text{，}$$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$p_3\text{，}$$p_4\text{，}$$p_5$をそれぞれ求めなさい．

(3)　$1$個のさいころを$3$回続けて投げ，第$1$回目に出た目の数を$X$とし，第$2$回目に出た目の数を$Y$とし，第$3$回目に出た目の数を$Z$とする．積$XYZ$を$6$で割ったときの余りが$2$となる事象が起こる確率を求めなさい．

【４】　座標平面において，$x\text{，}$$y$が$5$つの不等式$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x+4y-20\leqq 0\text{，}$$x+2y-12\leqq 0\text{，}$$x^2-20x-2y+102\geqq 0$を同時に満たす場合を考える．この場合に，以下の問に答えなさい．

(1)　この連立不等式の表す領域において，$2x+5y$の最大値，最小値を求めなさい．

(2)　この連立不等式の表す領域の面積を求めなさい．