2023　埼玉大学　前期(理,工学部)MathJax

$z=-t^3+t^{3}i\text{，}$$w=t-2+ti$

とし，複素数平面において$z\text{，}$$w$を表す点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．また，複素数平面において$0$を表す点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を頂点とする三角形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$z\text{，}$$w$の絶対値$\left|z\right|\text{，}$$\left|w\right|$をそれぞれ求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{w}{z}}=a+bi$を満たす$a\text{，}$$b$を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle POQ}=\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とする．$\cos \theta$および$\sin \theta$を求めよ．

(4)　$S$を求めよ．

(5)　$0<t<1$の範囲で$t$を変化させたときの$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$C_1\text{：}y=\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

$C_2\text{：}y=k+\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

を考える．$C_1$の接線で傾きが$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のものを$l$とする．さらに，$l$は$C_2$上の点$(t,k+\cos t)$$(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$において$C_2$と接するものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$と$C_1$の接点の座標を求めよ．

(2)　$t$および$k$を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}$$(a,b)$とする．$\mathrm{P}$の$y$座標$b$を求めよ．

(4)　$\mathrm{P}$$(a,b)$は(3)のものとする．$C_1$と$x$軸で囲まれた図形のうち，$x$座標が$a$以下である部分の面積を求めよ．

$C\text{：}y=x^3-3x$

を考える．$n$を自然数とし，点$(n,n^3-3n)$における$C$の接線を$l_n$とする．また，$C$と$l_n$で囲まれた図形（境界を含む）を$D_n$とし，$D_n$に含まれる格子点の個数を$T_n$とする．ただし，格子点とは$x$座標，$y$座標がどちらも整数である点のことをいう．次の問いに答えよ．

(1)　$l_n$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$l_n$の共有点をすべて求めよ．

(3)　$n=1$のときを考える．$D_1$に含まれる格子点をすべて求めよ．

(4)　$T_n$を求めよ．

$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　点$(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$$\text{（}t>0\text{）}$における$C$の法線の方程式を求めよ．

(2)　点$(k,k)$を通る$C$の法線が直線$y=x$のほかにちょうど$2$本存在するような実数$k$の範囲を求めよ．

(3)　点$({\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}})$を通る$C$の法線であって，$y=x$と異なるものは$2$本ある．これら$2$本の法線と$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．