2023　埼玉大学　後期（理,工学部）MathJax

(1)　$x$を実数とするとき，不等式$x\leqq e^{x-1}$が成り立つことを示せ．

(2)　$t_1\text{，}$$t_2$と$x_1\text{，}$$x_2$を正の実数とするとき，不等式

$x_1^{t_1}{x}_2^{t_2}\leqq e^{(t_1{x}_1+t_2{x}_2)-(t_1+t_2)}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$t_1\text{，}$$t_2\text{，}\cdots \text{，}$$t_n$と$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$を正の実数とし，

$t_1+t_2+\cdots +t_n=1$かつ$t_1{x}_1+t_2{x}_2+\cdots +t_n{x}_n=1$

を満たすものとする．このとき不等式

$x_1^{t_1}{x}_2^{t_2}\cdots x_n^{t_n}\leqq 1$

が成り立つことを示せ．

(4)　$t_1\text{，}$$t_2\text{，}\cdots \text{，}$$t_n$と$y_1\text{，}$$y_2\text{，}\cdots \text{，}$$y_n$を正の実数とし，

$t_1+t_2+\cdots +t_n=1$

を満たすものとする．

$a=t_1{y}_1+t_2{y}_2+\cdots +t_n{y}_n$

とおく．このとき不等式

${\left({\displaystyle \frac{y_1}{a}}\right)}^{t_1}{\left({\displaystyle \frac{y_2}{a}}\right)}^{t_2}\cdots {\left({\displaystyle \frac{y_n}{a}}\right)}^{t_n}\leqq 1\text{，}$

$y_1^{t_1}{y}_2^{t_2}\cdots y_n^{t_n}\leqq t_1{y}_1+t_2{y}_2+\cdots +t_n{y}_n$

が成り立つことを示せ．

$y=\sqrt{1-x^2}$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

と直線

$y=(\tan \theta )x$

と$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とし，$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$W$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$V$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$W$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$W=\sqrt{3}V$が成り立つときの$\theta$の値を求めよ．

(4)　$\alpha$を$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす実数とする．

$W={\displaystyle \frac{V}{\tan \alpha }}$

が成り立つときの$\theta$の値を$\alpha$を用いて表せ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を求めよ．

(4)　関係式$b_{n+1}=p{b}_n+q{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つような$p\text{，}$$q$を求めよ．ただし$p\text{，}$$q$は$n$によらない定数とする．

(5)　(4)の定数$p$を用いて

$c_n={\displaystyle \frac{b_n}{p^n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．$c_n$を求めよ．

(6)　$b_n$を求めよ．

$C_1\text{：}y=x\log x$$(x>{\displaystyle \frac{1}{e}})$

と

$C_2\text{：}y={(x-a)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

を考える．ここで$e=2.718\cdots$は自然対数の底である．$C_1$上の点$(t,t\log t)$における$C_1$の接線が$C_2$に接するとする．次の問いに答えよ．

(1)　点$(t,t\log t)$における$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$a$を$t$を用いて表せ．

(3)　実数$t$の値が$t>{\displaystyle \frac{1}{e}}$の範囲を動くとき，$a$の最小値を求めよ．