2023　千葉大学　前期MathJax

【１】　座標平面上に点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(0,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(\sqrt{2},1)$をとる．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{P}$$(0,p)$をとり，線分$\mathrm{BP}$上の点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{▵APQ}$と$\mathrm{▵OBQ}$の面積が等しくなるようにとる．

(1)　直線$\mathrm{BP}$を表す方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OBQ}$の面積を$p$を用いて表せ．

(3)　$p$が$0<p<2$の範囲を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【２】　$1$個のさいころを投げて出た目によって得点を得るゲームを考える．出た目が$1\text{，}$$2$であれば得点は$2\text{，}$出た目が$3$であれば得点は$1\text{，}$出た目が$4\text{，}$$5\text{，}$$6$であれば得点は$0$とする．このゲームを$k$回繰り返すとき，得点の合計を$S_k$とする．

(1)　$S_2=3$となる確率を求めよ．

(2)　$S_3$が奇数となる確率を求めよ．

(3)　$S_4\geqq n$となる確率が${\displaystyle \frac{1}{9}}$以下となる最小の整数$n$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$p$を実数とする．曲線$y=|x^2+x-2|$と直線$y=x+p$の共有点の個数を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　等式$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_{-1}^2}(xf(t)-t)\mathit{dt}$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【４】　$2$つの実数$a\text{，}$$b$は$0<b<a$を満たすとする．関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{b}}(e^{-(a-b)x}-e^{-ax})$

の最大値を$M(a,b)\text{，}$最大値をとるときの$x$の値を$X(a,b)$と表す．ここで，$e$は自然対数の底である．

(1)　$X(a,b)$を求めよ．

(2)　極限$\underset{b\to +0}{\lim }X(a,b)$を求めよ．

(3)　極限$\underset{b\to +0}{\lim }M(a,b)$を求めよ．

【５】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=5\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=3$を満たすとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるような実数$k$は存在しないことを示せ．

(2)　点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{HB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　実数$t$に対し，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるようにとる．同様に直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとる．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{OA}$と直交する直線を$l_1$とし，点$\mathrm{Q}$を通り直線$\mathrm{OB}$と直交する直線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(4)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る円の中心を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

【６】　$1$個のさいころを投げて出た目によって数直線上の点$\mathrm{P}$を動かすことを繰り返すゲームを考える．最初の$\mathrm{P}$の位置を$a_0=0$とし，さいころを$n$回投げたあとの$\mathrm{P}$の位置$a_n$を次のルールで定める．

・$a_{n-1}=7$のとき，$a_n=7$

・$a_{n-1}\ne 7$のとき，$n$回目に出た目$m$に応じて

$a_n=\{\begin{array}{l}{a}_{n-1}+m\\ \text{（}{a}_{n-1}+m=1\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{のとき）}\\ 1\text{（}{a}_{n-1}+m=2\text{，}12\text{のとき）}\\ 14-(a_{n-1}+m)\\ \text{（}{a}_{n-1}+m=8\text{，}9\text{，}10\text{，}11\text{のとき）}\end{array}$

(1)　$a_2=1$となる確率を求めよ．

(2)　$n\geqq 1$について，$a_n=7$となる確率を求めよ．

(3)　$n\geqq 3$について，$a_n=1$となる確率を求めよ．

【７】　関数

$f(x)=|\cos x-\sqrt{5}\sin x-{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}|$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$S(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+\frac{\pi }{3}}}f(x)\mathit{dx}$とおく．このとき$S(t)$の最大値を求めよ．

【８】　実数$a\text{，}$$b$と虚数単位$i$を用いて複素数$z$が$z=a+bi$の形で表されるとき，$a$を$z$の実部，$b$を$z$の虚部とよび，それぞれ$a=\mathrm{Re}(z)\text{，}$$b=\mathrm{Im}(z)$と表す．

(1)　$z^3=i$を満たす複素数をすべて求めよ．

(2)　$z^{100}=i$を満たす複素数$z$のうち，$\mathrm{Re}(z)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$かつ$\mathrm{Im}(z)\geqq 0$を満たすものの個数を求めよ．

(3)　$n$を正の整数とする．$z^n=i$を満たす複素数$z$のうち，$\mathrm{Re}(z)\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすものの個数を$N$とする．$N>{\displaystyle \frac{n}{3}}$となるための$n$に関する必要十分条件を求めよ．

【９】　関数$f(x)$と実数$t$に対し，$x$の関数$tx-f(x)$の最大値があればそれを$g(t)$と書く．

(1)　$f(x)=x^4$のとき，任意の実数$t$について$g(t)$が存在する．この$g(t)$を求めよ．

　以下，関数$f(x)$は連続な導関数$f^{\prime }(x)$を持ち，次の$2$つの条件(ⅰ)，(ⅱ)が成り立つものとする．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$は増加関数，すなわち$a<b$ならば$f^{\prime }(a)<f^{\prime }(b)$

(ⅱ)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=-\infty$かつ$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$

(2)　任意の実数$t$に対して，$x$の関数$tx-f(x)$は最大値$g(t)$を持つことを示せ．

(3)　$s$を実数とする．$t$が実数全体を動くとき，$t$の関数$st-g(t)$の最大値は$f(s)$となることを示せ．

志望別問題選択一覧

数学I,II,A,B

　国際教養,文(行動科学コース),法政経,教育(小学,中学国語社会理科技術,小中専門教科,英語,特別支援,乳幼児),園芸(食料資源経済学科)学部,先進科学プログラム(化学,生物,植物生命科,人間科学)

　　【１】,【２】,【３】

数学I,II,III,A,B

教育(中学数学)学部

　【３】,【４】,【５】,【６】,【７】,【８】

理(物理,化学,生物,地球科学科),工,園芸(園芸,応用生命化,緑地環境学科),薬学部,先進科学プログラム(物理,工学)

　【４】,【５】,【６】,【７】,【８】

理(数学・情報数理学科)学部

【４】,【５】, 【６】,【７】,【８】,【９】

医学部

【５】,【６】,【７】,【８】,【９】