2023　千葉大学　先進科学プログラム方式IMathJax

【１】　以下の方程式の解を求めなさい．

(1)　$x^4-5x^2+4=0$

【１】　以下の方程式の解を求めなさい．

(2)　$|x^2-4x|-4=0$

【１】　以下の方程式の解を求めなさい．

(3)　$\cos 2x+\sin x=0$$\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$

【１】　以下の方程式の解を求めなさい．

(4)　${\log }_{2}x+{\log }_4{\displaystyle \frac{1}{x}}=2$

【２】　関数$f(x)$を$f(x)=e^{-x}$とする．

(1)　点$(a,f(a))$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めなさい．

(2)　点$(a,f(a))$における$y=f(x)$の接線と$x$軸，$y$軸の交点をそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S(a)$を求めなさい．ただし，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が原点と一致するときは$S(a)=0$とする．

(3)　$a$を横軸，$S(a)$を縦軸にとって，$S(a)$のグラフの概形を描きなさい．ただし，グラフ中に極値および切片を明記すること．グラフの凹凸は調べなくてもよい．また，自然数$n$について$\underset{z\to +\infty }{\lim }{z}^n{e}^{-z}=0$となることを証明せずに用いてよい．

【３】　次の定積分を計算しなさい．ただし，$a\text{，}$$b$は定数とする．

(1)　${\displaystyle {\int }_a^b}{(x-a)}^3(x-b)\mathit{dx}$

【３】　次の定積分を計算しなさい．ただし，$a\text{，}$$b$は定数とする．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}\mathit{dx}$

【３】　次の定積分を計算しなさい．ただし，$a\text{，}$$b$は定数とする．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-2x}\mathit{dx}$

【４】　次の漸化式で表される数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=0\\ a_{n+1}=3a_n+2\end{array}$

【５】　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(1,a,0)\text{，}$$(a,0,1)\text{，}$$(0,1,a)$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．ただし$a$は$0<a<1$を満たす正の定数である．

(1)　$\mathrm{\angle AOB}$の大きさを$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．

(2)　直線$\mathrm{AB}$が$yz$平面と交わる点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(3)　原点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に降ろした垂線と平面$\mathrm{ABC}$の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

【６】　次の方程式を満たす複素数$z$をすべて求めなさい．

$z^4=-4$

【７】　$n$個のサイコロを振ったときに出た目の数の和を$X$とする．

(1)　$X=n$となる確率を求めなさい．

(2)　$X=n+1$となる確率を求めなさい．

(3)　$X=n+2$となる確率を求めなさい．