2023　東京大学　前期MathJax

【１】(1)　正の整数$k$に対し，

$A_k={\displaystyle {\int }_{\sqrt{k\pi }}^{\sqrt{(k+1)\pi }}}|\sin (x^2)|\mathit{dx}$

とおく．次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi }}}\leqq A_k\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k\pi }}}$

(2)　正の整数$n$に対し，

$B_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}{\displaystyle {\int }_{\sqrt{n\pi }}^{\sqrt{2n\pi }}}|\sin (x^2)|\mathit{dx}$

とおく．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{B}_n$を求めよ．

【２】　黒玉$3$個，赤玉$4$個，白玉$5$個が入っている袋から玉を$1$個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に$12$個すべて並べる．ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする．

(1)　どの赤玉も隣り合わない確率$p$を求めよ．

(2)　どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率$q$を求めよ．

【３】　$a$を実数とし，座標平面上の点$(0,a)$を中心とする半径$1$の円の周を$C$とする．

(1)　$C$が，不等式$y>x^2$の表す領域に含まれるような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a$は(1)で求めた範囲にあるとする．$C$のうち$x\geqq 0$かつ$y<a$を満たす部分を$S$とする．$S$上の点$\mathrm{P}$に対し，点$\mathrm{P}$での$C$の接線が放物線$y=x^2$によって切り取られてできる線分の長さを$L_{\mathrm{P}}$とする．$L_{\mathrm{Q}}=L_{\mathrm{R}}$となる$S$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

【４】　座標空間内の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,2,3)$を考える．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，その垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}$により定め，$\mathrm{Q}$を中心とする半径$r$の球面$S$を考える．$S$が三角形$\mathrm{OHB}$と共有点を持つような$r$の範囲を求めよ．ただし，三角形$\mathrm{OHB}$は$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{B}$を含む平面内にあり，周とその内部からなるものとする．

【５】　整式$f(x)={(x-1)}^2(x-2)$を考える．

(1)　$g(x)$を実数を係数とする整式とし，$g(x)$を$f(x)$で割った余りを$r(x)$とおく．${g(x)}^7$を$f(x)$で割った余りと${r(x)}^7$を$f(x)$で割った余りが等しいことを示せ．

(2)　$a\text{，}$$b$を実数とし，$h(x)=x^2+ax+b$とおく．${h(x)}^7$を$f(x)$で割った余りを$h_1(x)$とおき，${h_1(x)}^7$を$f(x)$で割った余りを$h_2(x)$とおく．$h_2(x)$が$h(x)$に等しくなるような$a\text{，}$$b$の組をすべて求めよ．

【６】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，不等式$\left|x\right|\leqq 1\text{，}$$\left|y\right|\leqq 1\text{，}$$\left|z\right|\leqq 1$の表す立方体を考える．その立方体の表面のうち，$z<1$を満たす部分を$S$とする．

　以下，座標空間内の$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が一致するとき，線分$\mathrm{AB}$は点$\mathrm{A}$を表すものとし，その長さを$0$と定める．

(1)　座標空間内の点$\mathrm{P}$が次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をともに満たすとき，点Pが動きうる範囲$V$の体積を求めよ．

(ⅰ)　$\mathrm{OP}\leqq \sqrt{3}$

(ⅱ)　線分$\mathrm{OP}$と$S$は，共有点を持たないか，点$\mathrm{P}$のみを共有点に持つ．

(2)　座標空間内の点$\mathrm{N}$と点$\mathrm{P}$が次の条件(ⅲ)，(ⅳ)，(ⅴ)をすべて満たすとき，点$\mathrm{P}$が動きうる範囲$W$の体積を求めよ．必要ならば，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$を満たす実数$\alpha$$(0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を用いてよい．

(ⅲ)　$\mathrm{ON}+\mathrm{NP}\leqq \sqrt{3}$

(ⅳ)　線分$\mathrm{ON}$と$S$は共有点を持たない．

(ⅴ)　線分$\mathrm{NP}$と$S$は，共有点を持たないか，点$\mathrm{P}$のみを共有点に持つ．

【１】　$k$を正の実数とし，$2$次方程式$x^2+x-k=0$の$2$つの実数解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．$k$が$k>2$の範囲を動くとき，

${\displaystyle \frac{{\alpha }^3}{1-\beta }}+{\displaystyle \frac{{\beta }^3}{1-\alpha }}$

の最小値を求めよ．

【２】　座標平面上の放物線$y=3x^2-4x$を$C$とおき，直線$y=2x$を$l$とおく．実数$t$に対し，$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,3t^2-4t)$と$l$の距離を$f(t)$とする．

(1)　$-1\leqq a\leqq 2$の範囲の実数$a$に対し，定積分

$g(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^a}f(t)\mathit{dt}$

を求めよ．

(2)　$a$が$0\leqq a\leqq 2$の範囲を動くとき，$g(a)-f(a)$の最大値および最小値を求めよ．

【４】　半径$1$の球面上の相異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が

$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}\text{，}$$\cos \mathrm{\angle ACB}=\cos \mathrm{\angle ADB}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

を満たしているとする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．