2023　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　$3$以上の任意の自然数$n$に対する次の命題の真偽をそれぞれ調べ，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

(1)　$n!+1<p\leqq n!+n$を満たす素数$p$は存在しない．

(2)　$n<p\leqq n!-1$を満たす素数が存在する．

【２】　$xy$平面上で楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$$\text{（}0<a<2\text{）}$上の点$\mathrm{P}$$(x_1,y_1)$$\text{（}y\ne 0\text{）}$を通る直線${\displaystyle \frac{x_1}{4}}x+{\displaystyle \frac{y_1}{a^2}}y=1$を$l$とする．楕円$C$の焦点のうち，$x$座標が正の方を$\mathrm{F}\text{，}$負の方を${\mathrm{F}}^{\prime }$とし，$\mathrm{F}\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$から$l$へ下した垂線と$l$との交点をそれぞれ$\mathrm{H}\text{，}$${\mathrm{H}}^{\prime }$とする．下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$は点$\mathrm{P}$において楕円$C$に接することを示せ．

(2)　$\mathrm{▵PHF}$と$\mathrm{▵}\mathrm{P}{\mathrm{H}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }$は相似であることを示せ．

(3)　$\mathrm{▵PHF}$と$\mathrm{▵}\mathrm{P}{\mathrm{H}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }$の面積の比が$1:4$となる点$\mathrm{P}$が存在する$a$の範囲を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$$\text{（}a\ne 0\text{）}$を定数とするとき，関数

$f(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{x^2-2x+2}}$

が$x=4$で極値をとるとする．このとき，下の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$の最小値が$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．また，このとき$f(x)$が最大値をもつことを示し，その値を求めよ．

【４】　下の問いに答えよ．

(1)　$\log x<\sqrt{x}$を示し，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}$を求めよ．

(2)　$m^n=n^m$を満たす自然数$m\text{，}$$n$$\text{（}m<n\text{）}$の組をすべて求めよ．