2023　東京工業大学　前期MathJax

【１】　実数${\displaystyle {\int }_0^{2023}}{\displaystyle \frac{2}{x+e^x}}\mathit{dx}$の整数部分を求めよ．

【２】　方程式

${(x^3—x)}^2(y^3-y)=86400$

を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ．

【３】　実数が書かれた$3$枚のカード$0\text{，}$$1\text{，}$$\sqrt{3}$から，無作為に$2$枚のカードを順に選び，出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える．正の整数$n$に対して，この操作を$n$回繰り返して得られる$n$個の複素数の積を$z_n$で表す．

(1)　$\left|z_n\right|<5$となる確率$P_n$を求めよ．

(2)　${z_n}^2$が実数となる確率$Q_n$を求めよ．

【４】　$xyz$空間において，$x$軸を軸とする半径$2$の円柱から，$\left|y\right|<1$かつ$\left|z\right|<1$で表される角柱の内部を取り除いたものを$A$とする．また，$A$を$x$軸のまわりに$45\mathrm{°}$回転してから$z$軸のまわりに$90\mathrm{°}$回転したものを$B$とする．$A$と$B$の共通部分の体積を求めよ．

【５】　$xyz$空間の$4$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,1,-1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(-1,0,0)$を考える．

(1)　$2$直線$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$から等距離にある点全体のなす図形を求めよ．

(2)　$4$直線$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$に共に接する球面の中心と半径の組をすべて求めよ．