2023　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　関数

$f(x)=\sin x\sin 2x-|\cos x|{\cos }^{2}x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\sin x\sin 2x$を$\cos x$の式で表せ．

(ⅱ)　区間$0\leqq x\leqq \pi$において，$f(x)=0$をみたす$x$の個数$N$を求めよ．

(ⅱ)　区間$0\leqq x\leqq \pi$における関数$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．

(ⅳ)　不定積分$I={\displaystyle \int }{\cos }^{3}x\mathit{dx}$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(ⅴ)　定積分$J={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{{(x+e)}^2}}$$\text{（}x>0\text{）}$

を考える．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{g(x)}{x{(x+e)}^3}}$と表すとき，$g(x)$を求めよ．

(ⅱ)　関数$g(x)$の極値を求めよ．さらに，$x>0$の範囲で方程式$g(x)=0$がただ一つの実数解をもつことを示せ．必要なら$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を用いてもよい．

(ⅲ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅳ) 定積分$I={\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{1}{x(x+e)}}\mathit{dx}$を求めよ．

(ⅴ)　曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸および直線$x=e$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　$t\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$で定義された$2$つの関数$f(t)\text{，}$$g(t)$を

$f(t)=t\sqrt{t}\text{，}$$g(t)=\sqrt{t(2t-1)}$

とする．座標平面上の曲線$C$の方程式が，媒介変数$t$を用いて

$x=f(t)\text{，}$$y=g(t)$

と表されるとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$と$x$軸との共有点の座標を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と直線$y=x$との共有点の座標を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C$は不等式$y\leqq x$の表す領域に含まれることを示せ．

(ⅳ)　曲線$C$上の点$(5\sqrt{5},3\sqrt{5})$における接線の方程式を求めよ．

(ⅴ)　曲線$C\text{，}$直線$y=x$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　初項が$a_1$の等差数列$\{a_n\}$は，すべての項が正の実数で，次の条件をみたすとする．

$a_1\cdot a_2=45\text{，}$$a_2\cdot a_3=105$

$n$を正の整数とするとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　一般項$a_n$を求めよ．

(ⅱ)　$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(a_k\cdot a_{k+1})$を$n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{n{S}_n}}$を求めよ．

(ⅳ)　$U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k\cdot a_{k+1}}}$を$n$を用いて表せ．

(ⅴ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{U}_n$を求めよ．