2023　電気通信大学　後期MathJax

$f(t)=2\sin t+\sin 2t\text{，}$

$g(t)=2\cos t-\cos 2t$

を用いて定義される座標平面上の曲線

$x=f(t)\text{，}$$y=g(t)$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

は右図のような概形をもつ．この曲線を$C$として，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\{f^{\prime }(t)\}}^2+{\{g^{\prime }(t)\}}^2$を$a{\cos }^{2}bt$$\text{（}a\text{，}$$b$は正の定数）の形に変形せよ．

(ⅱ)　$C$上で$x$座標が最大となる点$\mathrm{A}$の座標と，対応する$t$の値$t_0$を求めよ．

(ⅲ)　$0<t<\pi \text{，}$$t\ne t_0$を満たす$t$に対して，点$(f(t),g(t))$における$C$の接線の傾きを$m(t)$とするとき，極限値$\underset{t\to t_0}{\lim }m(t)$を求めよ．

(ⅳ)　曲線$C$の長さ$L$を求めよ．

(ⅴ)　曲線$C$と$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$f(x)=\sqrt{1-x^2}+{\displaystyle \frac{x}{2}}-1$

を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$0<x<1$における$f(x)=0$の解を求めよ．

(ⅱ)　第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(ⅲ)　$0<x<1$における$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅳ)　次の$2$つの不定積分$I\text{，}$$J$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

$I={\displaystyle \int }x\sqrt{1-x^2}\mathit{dx}\text{，}$$J={\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}}\mathit{dx}$

(ⅴ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積$V$を求めよ．

$s+t>0$

を満たしながら変化するとき，座標平面上で点$\mathrm{P}$$({\displaystyle \frac{1+st}{s+t}},{\displaystyle \frac{1-st}{s+t}})$の動く領域を$D$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x={\displaystyle \frac{1+st}{s+t}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1-st}{s+t}}$とおく．このとき，$s+t$と$st$を$x\text{，}$$y$の式で表せ．

(ⅱ)　領域$D$を図示せよ．

(ⅲ)　関数$f(x)=x\sqrt{x^2+1}+\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(ⅳ)　実数$s\text{，}$$t$が連立不等式

$0<s+t\leqq 2\text{，}$${\displaystyle \frac{1-st}{s+t}}\leqq 1$

を満たしながら変化するとき，点$\mathrm{P}$$({\displaystyle \frac{1+st}{s+t}},{\displaystyle \frac{1-st}{s+t}})$の動く領域の面積$S$を求めよ．

$\text{1}$　時刻$0$での点$\mathrm{P}$の座標は$0$である．

$\text{2}$　時刻$n$での点$\mathrm{P}$の座標$x$が偶数であるとき，時刻$n+1$での点$\mathrm{P}$の座標は確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で$x+1$となり，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$x$のままである．

$\text{3}$　時刻$n$での点$\mathrm{P}$の座標$x$が奇数であるとき，時刻$n+1$での点$\mathrm{P}$の座標は確率${\displaystyle \frac{7}{8}}$で$x+1$となり，確率${\displaystyle \frac{1}{8}}$で$x-1$となる．

自然数$n$に対し，時刻$n$での点$\mathrm{P}$の座標が$\mathrm{0}$である確率を$p_n$とし，座標が$1$である確率を$q_n$とする．また，時刻$n$での点$\mathrm{P}$の座標が奇数である確率を$r_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$p_1\text{，}$$p_2$を求めよ．

(ⅱ)　$r_n$を求めよ．

(ⅲ)　$p_{n+2}$を$p_{n+1}$と$p_n$を用いて表せ．

(ⅳ)　実数$\alpha \text{，}$$\beta$はすべての自然数$n$に対して

$p_{n+2}-\alpha p_{n+1}=\beta (p_{n+1}-\alpha p_n)$

を満たす．このような$\alpha \text{，}$$\beta$の組$(\alpha ,\beta )$を$2$組求めよ．

(ⅴ)　$p_n\text{，}$$q_n$を求めよ．