2023　一橋大学　前期MathJax

【１】　$n$を$2$以上$20$以下の整数，$k$を$1$以上$n-1$以下の整数とする．

${}_{n+2}C_{k+1}=2({}_{n}C_{k-1}+{}_{n}C_{k+1})$

が成り立つような整数の組$(n,k)$を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とする．$2$つの曲線$C_1\text{：}y=x^3+2a{x}^2$および$C_2\text{：}y=3a{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{a}}$の両方に接する直線が存在するような$a$の範囲を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(-3,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,5,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,5,1)$がある．$\mathrm{P}$は$|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2\overrightarrow{\mathrm{PC}}|\leqq 36$を満たす点である．$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$が同一平面上にないとき，四面体$\mathrm{OABP}$の体積の最大値を求めよ．

【４】　$xy$平面上で，$x$座標と$y$座標がともに正の整数であるような各点に，右の図のような番号をつける．点$(m,n)$につけた番号を$f(m,n)$とする．たとえば，$f(1,1)=1\text{，}$$f(3,4)=19$である．

(1)　$f(m,n)$$+f(m+1,n+1)$$=2f(m,n+1)$が成り立つことを示せ．

(2)　$f(m,n)$$+f(m+1,n)$$+f(m,n+1)$$+f(m+1,n+1)=2023$となるような整数の組$(m,n)$を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人が，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}\cdots$という順番にさいころを投げ，最初に$1$を出した人を勝ちとする．だれかが$1$を出すか，全員が$n$回ずつ投げたら，ゲームを終了する．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が勝つ確率$P_{\mathrm{A}}\text{，}$$P_{\mathrm{B}}\text{，}$$P_{\mathrm{C}}$をそれぞれ求めよ．