2023　一橋大学　後期MathJax

【１】　$\sqrt{m}+\sqrt{n}=\sqrt{2023}$を満たす正の整数の組$(m,n)$の個数を求めよ．

【２】　$x$を正の実数とする．空間内に互いに外接しあう$3$つの球$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$があり，それぞれの半径は$1\text{，}$$x\text{，}$$x^2$である．また，これらは同一の平面$P$にそれぞれ点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3$で接している．$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$の大きさを$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とするとき，$\theta$のとり得る値の範囲を求めよ．

【３】　平面上に相異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がある．動く点$\mathrm{P}$が，時刻$n$において，これらのいずれかの点にあるとき，時刻$n+1$にどの点にあるかを定める確率が右の表で与えられている．たとえば，$\mathrm{P}$が時刻$n$に$\mathrm{B}$にあるとき，時刻$n+1$に$D$にある確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

(1)　時刻$1$に$\mathrm{P}$が$\mathrm{C}$にあるとき，時刻$3$に$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$にある確率を求めよ．

(2)　時刻$1$に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にあるとき，時刻$n$に$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$にある確率を求めよ．

【４】　$a$を実数とする．曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-ax$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$が，$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$において$C$と交わり，かつ$\mathrm{Q}$における$C$の接線が$l$と直交する．このような$\mathrm{P}$が存在しうる$a$の値の範囲を求めよ．

【５Ⅰ】　数列$\{a_n\}$がすべての正の整数$n$について次の条件を満たしている．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(n+1-k)}^2{a}_k$$={\displaystyle \frac{(n-1)n(n+1)(n+2)(2n+1)}{60}}$

$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【５Ⅱ】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$を求めよ．

(2)　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対し，$x\geqq \tan x-{\displaystyle \frac{{\tan }^{3}x}{3}}$を示せ．

(3)　$\pi >3.1$を示せ．