2023　東京海洋大学　前期海洋生命科,海洋資源環境学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=-2x^3+3x^2+12x$の増減を調べ，極値を求め，そのグラフをかけ．

(2)　方程式$-2x^3+3x^2+12x=k$が異なる$3$つの実数解をもつとき，定数$k$の範囲を求めよ．

(3)　(2)において，$3$つの解を大きい順に$\alpha >\beta >\gamma$とおく．$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<\beta <{\displaystyle \frac{3}{2}}$となるとき，$\alpha$の範囲を求めよ．

【２】　放物線$y=x^2$を$C_1\text{，}$放物線$y=x^2-4x+4a$を$C_2$とし，$C_1\text{，}$$C_2$に共通な接線を$l$とする．ただし，$a$は実数の定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$l$と$C_1\text{，}$$C_2$との接点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$とするとき，${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$の$x$座標をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線は，$C_1\text{，}$$C_2$と$l$で囲まれた図形の面積$S$を$2$等分することを示せ．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵DEF}$は以下の(ア)と(イ)の条件をそれぞれみたす．

(ア)　$(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}})=0$

(イ)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\overrightarrow{\mathrm{FD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$

このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$はどのような三角形か推定し，その推定が正しいことを証明せよ．

(2)　$\mathrm{▵DEF}$はどのような三角形か推定し，その推定が正しいことを証明せよ．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$の$8$チームが下の図で示すトーナメント方式で競技を行う．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の対戦では，どちらが勝つ確率も${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$の$6$チームのうち，どの$2$チームが対戦する場合にも，両チームとも勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．また，$\mathrm{A}$あるいは$\mathrm{B}$が$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$のいずれかと対戦するときに勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$とする．ただし，引き分けは起こらないものとする．このとき，次の問いに答えよ．

　$$には$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$のいずれかが入る．

(1)　$\mathrm{A}$はブロック$1$に，$\mathrm{B}$はブロック$2$に配置され，$\mathrm{C}$から$\mathrm{H}$の$6$チームは無作為に配置されるとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$も含めた$\mathrm{8}$チームが無作為に配置されるとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

【５】　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$\theta$の関数を次のように定義する．

$y=-\cos 2\theta +\sqrt{3}\sin 2\theta$$-\cos \theta -\sqrt{3}\sin \theta$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y$が実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$k$を用いて

$y=a{s}^2+bs+c\text{，}$$s=\cos \theta +k\sin \theta$

と表されるとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$k$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$y\leqq 0$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．