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2023-10280-0201
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2023 東京海洋大学 前期海洋工学部
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 座標平面上に 3 点 A (0, 2) , B (4, 0) , C (7, 6) がある.点 P は座標平面上を
AP→ ⋅( 2⁢BP →+ CP→ )= 0
を満たしながら動くとする.
(1) 点 P の軌跡を図示せよ.また,軌跡と x 軸, y 軸との共有点を求めよ.
(2) ▵ABP の面積が最大になるときの P の座標および ▵ABP の面積を求めよ.
2023-10280-0202
【2】 座標平面において,原点 O を中心とする円を C 1 , 放物線 y =- 12 ⁢x 2+a ⁢x+b を C 2 とする.ただし, a , b は実数とする. C1 と C 2 は点 P (2 ,-1 ) を共有点にもち,かつ P において共通の接線 l をもつとする.また, C2 の頂点を通り y 軸に平行な直線を m とし, l と m の交点を Q とする.
(1) a , b の値を求めよ.
(2) 直線 OQ , 放物線 C2 , 直線 m および y 軸で囲まれる図形の面積は,直線 OP により二等分されることを示せ.
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【3】 座標平面上で x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点という.自然数 n に対して,座標平面において連立不等式
y≦- 13 ⁢ x2+ 3⁢n 2 , x≧0 , y≧0
によって表される領域を D n とする.
(1) D1 に含まれる格子点の総数を求めよ.
(2) Dn に含まれ,かつ直線 x =0 上にある格子点の総数を n を用いて表せ.
(3) Dn に含まれ,かつ直線 x =1 上にある格子点の総数を n を用いて表せ.
(4) 自然数 k に対して, Dn に含まれ,かつ直線 x =3⁢k -2 上にある格子点の総数を k , n を用いて表せ.
(5) Dn に含まれる格子点の総数を n を用いて表せ.
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【4-Ⅰ】と【4-Ⅱ】から選択
【4-Ⅰ】 実数 a に対して,座標平面上の放物線 C 1:y =x2 -1 と放物線 C 2:y =1 2⁢ (x −a) 2 の共有点を P , Q とし, P , Q を通る直線を l とする.
(1) 直線 l の方程式を求めよ.
(2) a が - 1≦a≦ 1 を満たしながら動くとき, l が通過しうる領域 D を図示せよ.
(3) a が(2)の範囲を動くとき,線分 PQ が通過しうる領域の面積を求めよ.
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【4-Ⅱ】 関数 f ⁡(x )=- cos⁡x+ cos ⁡x2 ⁢2 ⁢sin⁡x ( 0<x< π ) について,次の問いに答えよ.
(1) 極限 lim x→+ 0f⁡ (x ) と limx→ π-0 f⁡( x) を求めよ.
(2) f⁡( x) の増減を調べ,極値を求めよ.
(3) 定積分 ∫π4 3⁢π 4 |f⁡ (x) |⁢ dx の値を求めよ.