2023　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上に$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2+2x$

$C_2\text{：}y=-2x^2+2x$

がある．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$のどちらにも接する直線が$1$つだけ存在することを示し，その直線の方程式を求めよ．

　上で求めた直線を$l$とする．さらに，実数$a\text{，}$$b$に対して定まる直線$m\text{：}y=ax+b$が，次の$2$つの条件を満たすとする．

・$m$は$l$と垂直に交わる．

・和集合$\{\mathrm{P}|P\text{は}m\text{と}{C}_1\text{との共有点}\}$$\cup \{\mathrm{Q}|\mathrm{Q}\text{は}m\text{と}{C}_2$$\text{との共有点}\}$の要素の個数がちょうど$4$である．

(2)　$b$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$m$と$C_1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$m$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=1:2$を満たす$b$の値を求めよ．

【２】　さいころ$\mathrm{A}$とさいころ$\mathrm{B}$がある．はじめに，さいころ$\mathrm{A}$を$2$回投げ，$1$回目に出た目を$a_1\text{，}$$2$回目に出た目を$a_2$とする．次に，さいころ$\mathrm{B}$を$2$回投げ，$1$回目に出た目を$b_1\text{，}$$2$回目に出た目を$b_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\geqq b_1+b_2$となる確率を求めよ．

(2)　$a_1+a_2>b_1+b_2$となる確率を求めよ．

(3)　$a_1+a_2>b_1+b_2$という条件のもとで，$a_2=1$となる条件付き確率を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，点$\mathrm{D}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$

で定める．点$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を以下の条件(＊)を満たすようにとる．

(＊)$\{\begin{array}{l}X\text{は，}\mathrm{▵ABC}\text{の辺上または内部にある．}\\ \text{直線}\mathrm{DX}\text{は，平面}\mathrm{OAB}\text{，平面}\mathrm{OBC}\text{，平面}\mathrm{OCA}\text{と}\\ \text{ それぞれ}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{で交わる．}\\ \overrightarrow{\mathrm{DP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{DX}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DQ}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{DX}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DR}}=\gamma \overrightarrow{\mathrm{DX}}\text{と表すとき，}\\ 0<\alpha \leqq \beta \leqq \gamma \text{である．}\end{array}$

また，実数$s\text{，}$$t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AX}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表す．次の問いに答えよ．

(1)　実数$u$で定まるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}+u\overrightarrow{\mathrm{DX}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を$s\text{，}$$t$でそれぞれ表せ．

(3)　$\mathrm{X}$が条件(＊)を満たしながら動くとき，点$(s,t)$の存在範囲を$st$平面上に図示せよ．

(4)　$\mathrm{X}$が条件(＊)を満たしながら動くとき，$\mathrm{X}$が動く部分の面積$S_1$と$\mathrm{▵ABC}$の面積$S_2$の比$S_1:S_2$を求めよ．

【１】　$n$を正の整数とする．$xy$平面において，以下の$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$を考える．

$C_1\text{：}y={(\cos x)}^n$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$C_2\text{：}y={(\sin x)}^n$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

(2)　$n=4$のとき，$C_1\text{，}$$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

(3)　$n=8$のとき，$C_1\text{，}$$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　複素数平面上に$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$\gamma =(1-v)\alpha +v\beta$$\text{（}v$は複素数）と表すとき，$v$をすべて求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}(z)$とする．$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$が次の条件(＊)をみたしながら動くとき，$\left|z\right|$の最大値を求めよ．

(＊)$\{\begin{array}{l}\left|\alpha \right|=1\text{，}\beta ={\alpha }^2\text{，}\left|\gamma \right|\geqq 1\text{，}\\ \alpha \text{の偏角}\theta \text{は}0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{の範囲にある．}\end{array}$

【４】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{2+7\sqrt{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたす．次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha =\sqrt{2+7\sqrt{\alpha }}$をみたす$2$より大きい実数$\alpha$がただ$1$つ存在することを示し，$\alpha$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$\alpha$に対して，$a_n<\alpha$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の極限を調べ，収束する場合はその極限値を求めよ．

【５】　関数$f(x)=e^{-x}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　正の実数$x$に対して，以下の不等式を示せ．

$1-x<f(x)<1-x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

　$2$以上の整数$n\text{，}$$N$（ただし$N\geqq n\text{）}$に対して

$S_{n,N}={\displaystyle \sum _{k=n}^N}{\displaystyle \frac{1}{k^2-1}}f\left({\displaystyle \frac{1}{k}}\right)$

とおく．

(2)　$2$以上の整数$n\text{，}$$N$（ただし$N\geqq n\text{）}$に対して，次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{N+1}}<S_{n,N}$$<({\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{N+1}})(1+{\displaystyle \frac{1}{2n(n-1)}})$

(3)　各$n$に対して，極限値$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_{n,N}$は存在し，その極限値を$S_n$とおく．$S_9$の小数第$3$位まで（小数第$4$位切り捨て）を求めよ．