2023　横浜国立大学　後期MathJax

(1)　$p\text{，}$$q$を$2<p<q$を満たす素数とする．$a^2-c^2=d^2-b^2=pq$を満たす相異なる$4$つの正の整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$が存在するとき，$a^2+b^2$は素数でないことを示せ．

(2)　実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$が$a^2+b^2=c^2+d^2$を満たすとき，以下の等式が成り立つことを示せ．

$\begin{array}{ll}{(a^2+b^2)}^2& ={(ac-bd)}^2+{(ad+bc)}^2\\ & ={(a^2-b^2)}^2+{(2ab)}^2\\ & ={(ac+bd)}^2+{(ad-bc)}^2\\ & ={(c^2-d^2)}^2+{(2cd)}^2\end{array}$

(3)　$x^2+y^2={65}^2$かつ$0<x<y$を満たす整数の組$(x,y)$を$4$つ求めよ．

$F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-px-q$

で定める．数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$があり，以下の条件を満たしている．

・$a_0=1\text{，}$$b_0=0$

・${\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n{x}^2+b_{n}x$を$F(x)$で割った余りは$a_{n+1}x+b_{n+1}$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$である．

　さらに，$a_n-b_n={(-1)}^n$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$が成立するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$q$を$p$で表せ．

(2)　$a_1\text{，}$$a_2$を$p$で表せ．

(3)　$a_n$を$n\text{，}$$p$で表せ．

$(x_0,y_0)=(0,0)$

$(x_k,y_k)=\{\begin{array}{l}(x_{k-1},y_{k-1})\\ k\text{回目に出た目が}1\text{のとき}\\ (x_{k-1}+1,y_{k-1})\\ k\text{回目に出た目が}2\text{または}3\text{のとき}\\ (x_{k-1},y_{k-1}+1)\\ k\text{回目に出た目が}4\text{または}5\text{のとき}\\ (x_{k-1}+1,y_{k-1}+1)\\ k\text{回目に出た目が}6\text{のとき}\end{array}$

　$0$以上$4$以下の$2$つの整数$x\text{，}$$y$に対して，$(x_4,y_4)=(x,y)$となる確率を$P(x,y)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$P(2,2)\text{，}$$P(3,3)$をそれぞれ求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{y=0}^4}P(0,y)$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{y=0}^4}P(1,y)$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{y=0}^4}P(x,y)$を$x$で表せ．

$A(\theta )={({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )}^2$

$B(\theta )={({\cos }^3\theta -{\sin }^3\theta )}^2$

$C(\theta )={({\cos }^4\theta +{\sin }^4\theta )}^2$

とする．$x=\sin \theta \cos \theta$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$x$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$A(\theta )\text{，}$$B(\theta )\text{，}$$C(\theta )$をそれぞれ$x$の式で表せ．

(3)　$A(\theta )+B(\theta )-2C(\theta )$を$x$で表した式を$f(x)$とおく．$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，$f(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．

(1)　$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

　$xy$平面上に点$\mathrm{E}$がある．点$\mathrm{P}$が$\alpha$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}\text{，}$$\mathrm{PE}$の長さの和$\mathrm{AP}+\mathrm{PE}$の最小値を$m$とし，その最小値をとる点を${\mathrm{P}}_0$とする．

(2)　$\mathrm{E}$の座標が$(10,6,0)$のとき，${\mathrm{P}}_0$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{E}$が$xy$平面内の曲線$y=-{(x-5)}^2$上を動くとき，$m$が最小となる点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

$z_1=2i\text{，}$$z_{n+1}={\displaystyle \frac{\bar{\alpha }{z}_n}{z_n+\alpha }}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$z_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を，$n\text{，}$$\beta$の式で表せ．

(2)　$z_{n+4}=z_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$をみたすとき，$(\alpha ,\beta )$をすべて求めよ．

(3)　複素数平面上の点$z_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$は，$n$によらない円$C$上にあることを示し，$C$の中心と半径を求めよ．また，$C$を図示せよ．

$2a^3+b^3=c^3+2023$

が成り立つとする．次の問いに答えよ．

(1)　$b-c=3k+r$$\text{（}k\text{，}$$r$は整数であり，$r$は$-1\leqq r\leqq 1$をみたす）と表すとき，$b^2+bc+c^2$を$3$で割った余りを，$r$の式で表せ．

(2)　$a$を$3$で割った余りが$2$であるとき，$b-c\text{，}$$b^2+bc+c^2$をそれぞれ$3$で割った余りを求めよ．

(3)　$a=8$のとき，$(b,c)$をすべて求めよ．

(1)　$f(x)$の増減，極値を調べ，$C$の概形を描け．ただし，$C$の凹凸，変曲点は調べなくてよい．

(2)　$C$と$x$軸と直線$x=1$および$x=\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．