2023　新潟大学　前期MathJax

【１】　$a$は$1\leqq a\leqq 4$を満たす定数とする．点$\mathrm{A}$を$(a,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$を$(a,a^2)\text{，}$点$\mathrm{C}$を$(-1,1)\text{，}$点$\mathrm{D}$を$(-1,0)$とし，曲線$E$を$y=x^2$とする．線分$\mathrm{BC}$と曲線$E$で囲まれる図形の面積を$S$とし，線分$\mathrm{AB}\text{，}$曲線$E\text{，}$線分$\mathrm{CD}\text{，}$線分$\mathrm{DA}$で囲まれる図形の面積を$T$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S$と$T$が等しくなるときの$a$の値を求めよ．

(2)　$S$と$T$の差が最大となるときの$a$の値を求めよ．

【２】　一辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{U}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle SBR}$の値を求めよ．

(3)　四角形$\mathrm{PTRU}$を底面，点$\mathrm{Q}$を頂点とする四角錐の体積を求めよ．

【３】　$k$を実数とする．全体集合を実数全体の集合とし，その部分集合$A\text{，}$$B$を次のように定める．

$A=\{x|x^3-x^2-(k^2+4k+4)x$$+k^2+4k+4=0\}$

$B=\{x|x^3-(k^2+3k+3)x^2$$+k^{2}x-k^4-3k^3-3k^2=0\}$

次の問いに答えよ．

(1)　$k=-1$のとき，集合$A\text{，}$$B\text{，}$$A\cap B\text{，}$$A\cup B$を，$\{a,b,c\}$のように集合の要素を書き並べて表す方法により，それぞれ表せ．空集合になる場合は，空集合を表す記号で答えよ．

(2)　集合$B$が集合$A$の部分集合となるような$k$の値をすべて求めよ．そのような$k$の値が存在しない場合は，その理由を述べよ．

(3)　集合$A\cup B$の要素の個数を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b$を正の数とし，座標平面上の曲線

$C_1\text{：}y=e^{ax}\text{，}$$C_2\text{：}y=\sqrt{2x-b}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=e^{ax}$と関数$y=\sqrt{2x-b}$の導関数を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$が$1$点$\mathrm{P}$を共有し，その点において共通の接線をもつとする．このとき，$b$と点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)において，曲線$C_1\text{，}$曲線$C_2\text{，}$$x$軸，$y$軸で囲まれる図形の面積を$a$を用いて表せ．

【５】　複素数平面上の点$z$が原点を中心とする半径$1$の円周上を動くとし，$w=-{\displaystyle \frac{2(2z-i)}{z+\mathrm{i}}}$$\text{（}z\ne -1\text{）}$とする．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　$z=i$のときの$w$の実部と虚部を求めよ．

(2)　$z$を$w$を用いて表せ．

(3)　点$w$の描く図形を複素数平面上に図示せよ．

(4)　$\left|w\right|$の最小値とそれを与える$z$を求めよ．

【６】　座標空間の$2$点$\mathrm{A}$$(1,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-1,5)$を直径の両端とする球面を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　球面$S$の中心$\mathrm{C}$の座標と，$S$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$S$上を動くとき，$\mathrm{▵ABP}$の面積の最大値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}$$(x,y,z)$が$\mathrm{\angle QCA}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$かつ$y\geqq 0$を満たしながら$S$上を動く．点$\mathrm{R}$$(1+\sqrt{2},0,4)$に対して，内積$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CR}}$のとりうる値の範囲を求めよ．

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=4a_n+6n-2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$を

$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n$を用いて表せ．

【４】　$p$は$p\geqq 0$を満たす定数とし，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-3x^2+(9-p^2)x$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　$p=1$のとき，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$f^{\prime }(x)=0$となる$x$の値を$p$を用いて表せ．

(3)　$x\geqq 0$において$f(x)$が最小値をとる$x$の値を求めよ．