2023　新潟大学　推薦理学部数学プログラムMathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$進法で表された自然数$a$を$a_{(n)}$と表す．次の計算の結果を$5$進法で表せ．

${432}_{(5)}\times {341}_{(5)}$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$1\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$2\text{，}$$4\text{，}$$4\text{，}$$4$の$7$個の数字全部を使ってできる$7$桁の整数の内，$2200000$以上の偶数の個数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，次の関数の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値をそれぞれ求めよ．

$y=4\sqrt{2}{\cos }^3\theta -4\sqrt{6}\sin \theta {\cos }^2\theta$$-3\sqrt{2}\cos \theta +\sqrt{6}\sin \theta +2$

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　次の不等式をみたす$x$の値の範囲を求めよ．

$4^{x+\frac{1}{4}}+2^{x+\frac{5}{2}}-4\cdot 2^x-16<0$

【２】　関数$f(x)=3x^4-4x^3-6x^2+12x$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の最小値を求めよ．

(3)　$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸を調べて，グラフの概形をかけ．

【３】　数列$\{a_n\}$を$a_1=-5\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{-5a_n+4}{a_n-5}}$で定める．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n+\alpha }{a_n-\alpha }}$で定めたとき，$\{b_n\}$が等比数列となるような整数$\alpha$を$2$つ求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　点$\mathrm{P}$を中心とする半径$r$の円$C$上に異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をとる．$\mathrm{OA}=9\text{，}$$\mathrm{OB}=6\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{p}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}\text{，}$および，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{p}$の内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　円$C$の半径$r$を求めよ．