2023　富山大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$$\text{（}-\pi <x<\pi \text{）}$とおく．

　このとき，$\sin x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}\text{，}$$\cos x={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}={\displaystyle \frac{2}{1+t^2}}$であることを示せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{1+\sin x+\cos x}}$を求めよ．

(3)　$2$つの定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{1+2\sin x}{1+\sin x+\cos x}}\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{1+2\cos x}{1+\sin x+\cos x}}\mathit{dx}$が等しいことを示せ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{1+2\sin x}{1+\sin x+\cos x}}\mathit{dx}}$を求めよ．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x}}\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$e$を自然対数の底として，$f(x)=x^2{e}^{-\frac{x}{2}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を考える．次の問いに答えよ．ただし，正の整数$n$に対して，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^n{e}^{-\frac{x}{2}}=0$であることは用いてよい．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，およびグラフの凹凸を調べ，グラフをかけ．また，変曲点が$2$つ以上あれば，それらの$y$座標の大小関係も調べよ．ただし，$2<e<3$であることを用いてもよい．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$a$を正の実数とする．$xy$平面において，$0\leqq y\leqq f(x)\text{，}$$0\leqq x\leqq a$を満たす部分の面積を$S(a)$とするとき，$S(a)$を$a$の式で表せ．

(4)　(3)の$S(a)$に対して，$\underset{a\to \infty }{\lim }S(a)$を求めよ．

【３】　$n$を正の整数とし，命題$P(n)$を

「すべての整数$z$に対して，$z^{3^n}-z^{3^{n-1}}$は$3^n$の倍数である」

とする．次の問いに答えよ．

(1)　命題$P(1)$が真であることを示せ．

(2)　命題$P(2)$が真であることを示せ．

(3)　すべての正の整数$n$に対して，命題$P(n)$が真であることを示せ．

【１】　$e$を自然対数の底として，$f(x)=x^2{e}^{-\frac{x}{2}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を考える．次の問いに答えよ．ただし，正の整数$n$に対して，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^n{e}^{-\frac{x}{2}}=0$であることは用いてよい．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，グラフをかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$a$を正の実数とする．$xy$平面において，$0\leqq y\leqq f(x)\text{，}$$0\leqq x\leqq a$を満たす部分の面積を$S(a)$とするとき，$S(a)$を$a$の式で表せ．

(4)　(3)の$S(a)$に対して，$\underset{a\to \infty }{\lim }S(a)$を求めよ．

【２】　図のような正十二角形$\mathrm{ABCDEFGHIJKL}$を考える．この正十二角形に外接する円の中心を点$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　$x=\left|\overrightarrow{a}\right|$とする．この正十二角形の面積を$x$を用いて表せ．

【３】　$n$を正の整数とする．$x$の$2$次関数$f(x)=(n+3)x^2-2(n^2+3n+3)x+1$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$n=1$とする．$m$が整数の範囲を動くときの$f(m)$の最小値，およびそのときの$m$の値を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$とする．$m$が整数の範囲を動くとき，$f(m)$が最小となる$m$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x^4-3x^2+1=0$を満たす$x$に対して$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\text{，}$および$x^6+{\displaystyle \frac{1}{x^6}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$p=a+b+c\text{，}$$q=ab+bc+ca$とおく．このとき，$a^2+b^2+c^2\text{，}$および$a^3+b^3+c^3-3abc$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

【２】　$a$を正の実数とし，$2$つの関数を$f(x)=x^3-6x\text{，}$$g(x)=-3x+a$で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，グラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$の共有点が$2$つであるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　(2)における$a$に対して曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　平面上に$\mathrm{▵ABC}$がある．$\mathrm{AB}=15\text{，}$$\mathrm{AC}=8$とし，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{PC}={\displaystyle \frac{136}{23}}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．