2023　富山大学　後期工，都市デザイン学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\sin }^{2}x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\sin x\sin 2x\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$m\text{，}$$n$を自然数とする．${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\sin mx\sin nx\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{({\displaystyle \sum _{k=1}^{2023}}\sin kx)}^2\mathit{dx}$を求めよ．

(編注）2013年　鹿児島大前期理,医,歯,工学部【４】を改変して活用

【２】　平面上に，原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\mathrm{\angle BOA}$の二等分線と$\mathrm{\angle OAB}$の二等分線との交点を点$\mathrm{C}$とする．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=11\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=13\text{，}$$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=20$である．以下の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{C}$を中心とする円が，線分$\mathrm{OA}$に接するとき，円の半径を求めよ．

(4)　この平面上にある点$\mathrm{P}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-t\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=6$の関係を満たす．点$\mathrm{P}$の表す図形が，線分$\mathrm{OA}$に接するとき，$t$を求めよ．

【３】　$a_{n+2}-10a_{n+1}+x{a}_n=0$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{），}$$a_1=1\text{，}$$a_2=8$を満たす数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$x=21$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を以下の手順で求めよ．

(a)　$(a_{n+2}-3a_{n+1})=7(a_{n+1}-3a_n)$のように変形し，$b_n=a_{n+1}-3a_n$によって定められる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(b)　(a)と同様の変形を行い，$c_n=a_{n+1}-7a_n$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(c)　数列$\{b_n\}$と数列$\{c_n\}$の一般項から，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$x=25$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を以下の手順で求めよ．

(a)　$(a_{n+2}-5a_{n+1})=5(a_{n+1}-5a_n)$のように変形し，$d_n={\displaystyle \frac{a_n}{5^n}}$によって定められる数列$\{d_n\}$に対し，$d_{n+1}-d_n$を求めよ．

(b)　数列$\{d_n\}$の一般項から，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．