2023　富山大学　推薦理学部数学科MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$について，次の不等式が成り立つことを示せ．

$x^2<\log (1+e^{x^2})<1+x^2$

必要ならば自然対数の底$e$が$2<e<3$を満たすことを用いてもよい．

(2)　不等式

${\displaystyle \frac{\pi }{12}}<{\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{1}{\log (1+e^{x^2})}}\mathit{dx}<1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

が成り立つことを示せ．

【２】　$xy$平面上の円$x^2+y^2=1$に内接する$\mathrm{▵ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}$の座標を$(0,1)$とし，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$とする．$\mathrm{\angle BAC}$を$\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$が$0<\theta <\pi$の範囲を動くとき，$S$の最大値を求めよ．またそのとき，$\mathrm{▵ABC}$はどのような三角形であるか．

【３】　平面上の放物線$C\text{：}y=x^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$と，領域$D\text{：}y<x^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$内の点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$から放物線$C$に引いた$2$本の接線のなす角を$\theta$$(0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．