2023　富山大学　推薦薬学部MathJax

【B】　以下の問１および問２に答えなさい．

問１　定数$a\text{，}$$b$と$n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots$について，$x>0$において関数$f(x)=\log x$と関数$g(x)=a{x}^n+b$を考える．$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$が共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつとき，$a$を$b\text{，}$$n$を用いて表せ．

【B】　以下の問１および問２に答えなさい．

問２　定数$a\ne 0$と$k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots$について，

$I={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{e}^{ax}\cos kx\mathit{dx}\text{，}$$J={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{e}^{ax}\sin kx\mathit{dx}$

とおく．このとき，

(1)　$I={\displaystyle \frac{1}{a}}(e^{2a\pi }-1+kJ)\text{，}$$J=-{\displaystyle \frac{k}{a}}I$が成り立つことを示し，$I$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{(e^{ax}\cos kx)}^2\mathit{dx}$の値を求めよ．