2023　金沢大学　前期　文系MathJax

【１】　$a>0$とし，曲線$C_1\text{：}y=5x^2$と曲線$C_2\text{：}y=x^2+4a^2$を考える．$C_1$と$C_2$の共有点のうち，$x$座標が正のものを$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$における$C_2$の接線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標と$l$の方程式を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$C_1$と$l$で囲まれた図形の面積を$T$とする．(2)で求めた$S$との比${\displaystyle \frac{T}{S}}$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　整数$n$に対して，$x=7n\text{，}$$y=17(17-n)$が不定方程式$17x+7y=2023$を満たすことを示せ．

(2)　$17x+7y=2023$を満たす整数$x\text{，}$$y$は，整数$n$を用いて$x=7n\text{，}$$y=17(17-n)$と表されるものに限ることを示せ．

(3)　$17+7y=2023$を満たす整数$x\text{，}$$y$のうち，$|xy-2023|$を最小にするものを求めよ．

【３】　実数$a\text{，}$$b$が，次の条件を満たすとする．

　$(x,y)$を座標とする座標平面において，不等式$y\geqq ax+b$が表す領域に点$\mathrm{A}$$(-1,1)$と点$\mathrm{B}$$(1,1)$があり，不等式$y\leqq ax+b$が表す領域に点$\mathrm{C}$$(-3,-1)$と点$\mathrm{D}$$(3,-1)$がある．

次の問いに答えよ．

(1)　$b=0$のとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　与えられた条件を満たす$(a,b)$全体の集合を，$(a,b)$を座標とする座標平面に図示せよ．

(3)　$(x,y)$を座標とする座標平面上で，点$\mathrm{P}$$(5,-2)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(5,3)$を考える．このとき，直線$y=ax+b$は線分$\mathrm{PQ}$と必ず共有点を持つことを示せ．