2023　金沢大学　前期　理系MathJax

【１】　関数$F(x)=\sin x-\log (1+x)$と$f(x)=F^{\prime }(x)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(\alpha )=0$となる$\alpha$が開区間$(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に$1$つだけあることを示せ．

(2)　$f(\beta )=0$となる$\beta$が開区間$(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に$1$つだけあることを示せ．

(3)　開区間$(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$において，$F(x)>0$であることを示せ．ただし，自然対数の底$e$が$e>2.7$を満たすことを用いてもよい．

(4)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において，曲線$y=\sin x\text{，}$曲線$y=\log (1+x)\text{，}$および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　座標空間において，平面$z=2$上の点$\mathrm{P}$と，平面$z=1$上の円板

$B\text{：}{x}^2+y^2\leqq 1\text{，}$$z=1$

を考える．点$\mathrm{Q}$は平面$z=0$$\text{（}xy$平面）上にあるとし，与えられた$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{PQ}$と$B$が共有点をもつような$\mathrm{Q}$全体からなる図形を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標が$(0,0,2)$であるとき，$D$を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　$r$を正の定数とする．$\mathrm{P}$の座標が$(r,0,2)$であるとき，$D$を$xy$平面上に図示せよ．

(3)　$r>2$を満たす定数$r$に対して，平面$z=2$上の円

$C\text{：}{x}^2+y^2=r^2\text{，}$$z=2$

を考える．$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$D$が通過する部分の面積を求めよ．

【３】　$K$を自然数とする．$2$つの箱$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$に赤玉$1$個，$\mathrm{B}$に白玉$K$個が入っている．$\mathrm{A}$の中の$1$個の玉と$\mathrm{B}$の中の$1$個の玉の交換を繰り返し行う．$n$回目の交換が終わったときに$\mathrm{A}$の中の玉が赤玉である確率を求めよ．

【４】　複素数$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$と自然数$L$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　$k\text{，}$$m$が整数ならば，${|k+m\omega |}^2$も整数であることを示せ．

(2)　$\left|k\right|\leqq L$を満たす整数$k$に対して，$|k+\omega |$の最大値を求めよ．

(3)　整数$k\text{，}$$m$が$\left|k\right|\leqq L\text{，}$$\left|m\right|\leqq L\text{，}$$|k-m|\leqq L$を満たすとき，$|k+m\omega |\leqq L$を示せ．

(4)　$|k+m\omega |\leqq L$を満たす整数の組$(k,m)$の個数を$N$とする．不等式$N\geqq 3L^2+3L+1$を示せ．