2023　福井大学　前期MathJax

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=10\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{10a_n+4}{a_n+10}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　また，数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n-2}{a_n+2}}$により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．また，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$a_n<2.05$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし必要なら${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$として用いてもよい．

【２】　さいころを$2$回投げ，$1$回目に出た目を$a\text{，}$$2$回目に出た目を$b$とする．

$X={\log }_{2}a+{\log }_{2}b-{\log }_2(a+b)$

と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$X=-1$となる確率を求めよ．

(2)　$X=1$となる確率を求めよ．

(3)　$X$が整数となったとき，$X=1$である確率を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle OBA}=\mathrm{\angle ABC}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=45\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}=30\mathrm{°}$を満たすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{BH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【４】　$f(t)=2e^t-e^{2t}\text{，}$$g(t)=t{e}^t$とし，$f(t)$が極大となる$t$の値を$\alpha \text{，}$$f(t)=0$となる$t$の値を$\beta$とする．$xy$平面上の曲線$C$を$x=f(t)\text{，}$$y=g(t)$$\text{（}\alpha \leqq t\leqq \beta \text{）}$で与える．以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．

(2)　$\alpha <t<\beta$の範囲で，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$の関数として表せ．

(3)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　複素数平面上の複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を考える．$\alpha \text{，}$$\beta$は$1\leqq |\alpha -1+i|\leqq 2\text{，}$$\bar{\beta }=-\beta$かつ$0\leqq |2\beta +i|\leqq 1$を満たす．さらに$\gamma$の実部$s\text{，}$虚部$t$がそれぞれ$0\leqq s\leqq 1\text{，}$$-1\leqq t\leqq 0$を満たし，$|\gamma -1+i|=1$を満たす．ただし，$i$は虚数単位とし，$\bar{\beta }$は$\beta$の共役複素数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\alpha$が存在する領域の面積を求めよ．

(2)　点$\alpha$と点$\beta$の距離の最大値およびそのときの$\alpha$と$\beta$を求めよ．

(3)　点$\beta$と点$\gamma$を結ぶ線分の中点$\mathrm{M}$が存在する領域を図示せよ．また，その領域の面積を求めよ．

【２】　箱$\mathrm{A}$には$1$個，箱$\mathrm{B}$には$2$個の球が入っている．さいころを$1$個投げて，$1$または$2$の目が出れば箱$\mathrm{A}$から箱$\mathrm{B}$へ，$3$から$6$の目が出れば箱$\mathrm{B}$から箱$\mathrm{A}$へ球を$1$個移す操作を繰り返す．箱のどちらか一方が空になった時点でこの操作を終了するとき，以下の問いに答えよ．

(1)　ちょうど$3$回目に箱$\mathrm{A}$が空になる確率を求めよ．

(2)　ちょうど$n$回目に箱$\mathrm{A}$が空になる確率を求めよ．

(3)　この操作が$n$回以下で終了する確率を求めよ．

【３】　$f(t)=2e^t-e^{2t}\text{，}$$g(t)=t{e}^t$とし，$f(t)$が極大となる$t$の値を$\alpha \text{，}$$f(t)=0$となる$t$の値を$\beta$とする．$xy$平面上の曲線$C$を$x=f(t)\text{，}$$y=g(t)$$\text{（}t\geqq \alpha \text{）}$で与える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$と$\beta$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$t>\alpha$のとき，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$の関数として表し，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}<0$となることを示せ．

(3)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　座標空間において，$3$点$\mathrm{Q}$$(-1,-1,1)\text{，}$$\mathrm{R}$$(1,-1,-1)\text{，}$$\mathrm{S}$$(-1,1,-1)$に対し，点$\mathrm{P}$を四面体$\mathrm{PQRS}$が正四面体となるようにとる．また，点$\mathrm{T}$は三角形$\mathrm{QRS}$を含む平面に関して点$\mathrm{P}$と対称な点とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　上の条件を満たす点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

(2)　正四面体$\mathrm{PQRS}$に外接する球の半径を求めよ．

(3)　正四面体$\mathrm{PQRS}$を直線$\mathrm{PT}$を軸として回転させるとき，面$\mathrm{PQR}$が通過する部分の体積を求めよ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=10\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{10a_n+4}{a_n+10}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　また，数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n-2}{a_n+2}}$により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．また，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対し，$a_n>a_{n+1}$であることを示せ．

【４】　$xy$平面上の曲線$C$を$x=4-e^{2t}\text{，}$$y=t{e}^t$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$で与える．また，$t=1$のときの曲線$C$上の点を$\mathrm{P}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$の関数として表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　四角形$\mathrm{ABCD}$は円$S$に内接しており，辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$は平行で$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{CD}=4$とする．円$S$の中心は四角形$\mathrm{ABCD}$の内側にあり，$S$の直径は$5$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$であることを証明せよ．

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

(3)　対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$は直交することを証明せよ．

【６】　$a>0$とする．$f(x)=x^3-a{x}^2+3a$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を$a$を用いて表せ．

(2)　方程式$f(x)=0$の相異なる実数解の個数が$2$個であるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$a$を(2)で求めた値とする．このとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．