2023　山梨大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　ある製品の価格は，$1$年経過するごとに$0.96$倍になる．この製品の価格が現在の価格の半額を初めて下回るのは何年後か．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$n$を自然数とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(k-1){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^k=1-(n+1){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$が成り立つことを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　等式$f(x)=\sin 2x+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}tf(t)\mathit{dt}$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$a_1=36\text{，}$$a_{n+1}=6{a_n}^6\text{，}$$b_n={\log }_6{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$それぞれの一般項を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　$c_1=6\text{，}$$c_{n+1}={\displaystyle \frac{n+3}{n+1}}{c}_n+1\text{，}$$d_n={\displaystyle \frac{c_n}{(n+1)(n+2)}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定義される数列$\{c_n\}\text{，}$$\{d_n\}$それぞれの一般項を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-3}{x^2+1}}$に対し，次の問いに答えよ．

(1)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$\omega$および$\gamma$を正の定数とする．座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$x=\omega t-\gamma \sin \omega t\text{，}$$y=1-\gamma \cos \omega t$

で表されるとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が描く曲線について，時刻$t={\displaystyle \frac{\pi }{2\omega }}$に対応する点における接線の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の時刻$t$における速度を$\overrightarrow{v}\text{，}$加速度を$\overrightarrow{\alpha }$とするとき，速さ$\left|\overrightarrow{v}\right|$と加速度$\left|\overrightarrow{\alpha }\mathit{\right|}$の大きさを求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$の速さの最大値とそのときの時刻$t$を求めよ．

(4)　$\gamma =1$とする．このとき，時刻$t=0$から$t={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}$までに点$\mathrm{P}$が通過する道のり$L$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=60\mathrm{°}$とし，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．また，$\sin \mathrm{\angle ADB}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(3)　$1$次不定方程式$273x+112y=21$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組の中で，$y$が正で最小となる組を求めよ．

【２】　$xy$平面において放物線$y=x^2$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　ある直線と$C$が$2$点$(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}$$(\beta ,{\beta }^2)$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$で交わるとき，この直線と$C$で囲まれた部分の面積を$A$とする．$A$を定積分で表しそれを計算することにより，$A={\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(1,1)$における$C$の接線を$l$とする．$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線と直線$x=-1$との交点を$\mathrm{Q}$とし，さらに$\mathrm{Q}$を通り$l$に平行な直線と$C$の交点のうち$x$座標が負であるものを$\mathrm{R}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{PQ}$および線分$\mathrm{QR}$により囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S={\displaystyle \frac{10\sqrt{5}}{3}}-5$であることを示せ．