2023　山梨大学　後期MathJax

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{ケ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　$1$辺の長さが$1$の正八角形がある．その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$とする．このとき，${\mathrm{AC}}^2=\text{ア}$であり，${\mathrm{AD}}^2=\text{イ}$である．ただし，答えが分数のときは，分母を有理化せよ．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{ケ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　$n$を自然数とする．中が見えない壺に，$n$個の赤玉と$n$個の白玉が入っている．この壺の中から$n$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した白玉が$k$個以下となる確率を$P_{n,k}$と書く．このとき，$P_{4,0}=\text{ウ}$であり，$P_{5,1}=\text{エ}$であり，$P_{6,2}=\text{オ}$である．ただし，すべて既約分数で解答せよ．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{ケ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　$200$個から$100$個取る組合せの総数${}_{200}C_{100}$を素因数分解したとき，$2$桁の素因数の中で最大のものは$\text{カ}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{ケ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　空間内に$4$点$\mathrm{A}$$(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,1,4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,7,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(5,7,7)$がある．直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{P}$が動き，直線$\mathrm{CD}$上を点$\mathrm{Q}$が動く．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が垂直であり，かつ直線$\mathrm{CD}$と直線$\mathrm{PQ}$が垂直であるとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\text{キ}$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$\text{ク}$である．ただし，答えに分数があらわれるときは，既約分数にせよ．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{ケ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(5)　実数の組$(x,y)$が$|x+2y|\leqq 1$を満たすとき，${(x-2)}^2+{(y-1)}^2$の最小値は$\text{ケ}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{コ}$から$\text{ソ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　関数$f(x)=x^3-5x^2+6x-6+{\displaystyle \frac{6}{x}}-{\displaystyle \frac{5}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$$\text{（}x\geqq 1\text{）}$は，$x=\text{コ}$のとき，最小値$\text{サ}$をとる．

【２】　次の問題文の空欄$\text{コ}$から$\text{ソ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　複素数平面上で，$|z+1+i|+|z-1-i|=6$を満たす点$z$の全体を$C$とする．このとき，$C$によって囲まれる部分の面積は$\text{シ}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{コ}$から$\text{ソ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　$x$の$8$次式$f(x)$は整数$k$$\text{（}0\leqq k\leqq 8\text{）}$に対して，$f(k)={\displaystyle \frac{k^2}{k+1}}$を満たす．このとき，$f(9)$の値を既約分数で求めると，$f(9)=\text{ス}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{コ}$から$\text{ソ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　$xy$平面において，$2$つの曲線$y=\sin x$$({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{5}{4}}\pi )\text{，}$$y=\cos x$$({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{5}{4}}\pi )$で囲まれた部分の面積は$\text{セ}$である．また，この部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\text{ソ}$である．

【３】　$1$から$10$までの整数が$1$つずつ重複せずに書かれた$10$枚のカードがある．この中から同時に$4$枚のカードを取り出すとき，取り出したカードに書かれている数の和が$20$以下となる確率を求めよ．

【４】　整数の組$(x,y,z)$が次の$2$つの式をともに満たすとき，$(x,y,z)$は(＊)を満たす整数の組であるという．

【５】　$0$以上の整数$n$に対し，関数$f_n(x)$を