2023　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とし，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B={\sin }^{2}C$を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a^2+b^2=c^2$であることを示しなさい．

(2)　さらに，$2\cos A+\cos B-\cos C=2$を満たすとする．このとき，${\displaystyle \frac{a}{b+c}}$の値を求めなさい．

【２】　$S$を，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面とする．$a>0$とし，球面$S$上の点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+a\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)　${|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}^2$の値を，$a$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になるための必要十分条件を，$a$を用いて表しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は垂直であるとし，$\mathrm{D}$は球面$S$上の点とする．三角錐$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を求めなさい．

【３】　実数$x\text{，}$$y$が$x+y=6$を満たすとき，$3^x+{27}^y$の最小値を求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{1+t^2}}$

を求めなさい．

(2)　$x>0$のとき，定積分

${\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{2}}^x}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{1+t^2}}$

を求めなさい．