2023　信州大学　前期　経法，工，医MathJax

【１】　$k$を定数とする．関数$f(x)$と$g(x)$を

$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{9}{2}}{x}^2+6x-k\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3-2x^2+2x+4|x-1|$

と定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸が相異なる$3$つの共有点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが相異なる$3$つの共有点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

【２】　平面上の三角形$\mathrm{OAB}$は，$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=2\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}$を満たすとする．この三角形の内部に点$\mathrm{H}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$p\text{，}$$q$は実数で，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$のとき，$p$と$q$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{OAB}$の垂心であるとき，$p$と$q$の値を求めよ．

【３】　方程式

${\log }_a(x-3)={\log }_a(x+2)$$+{\log }_a(x-1)+1$

が解をもつとき，定数$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

【４】　$3$つの自然数$p\text{，}$$p+10\text{，}$$p+20$がすべて素数となるような$p$がただ$1$つ存在することを示せ．

【５】　数列$\{a_n\}$は，すべての項が正であり，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k^2=2n^2+n$$\text{（}n=<mn>1</mn><mspace\; width=".2em"></mspace>\; <mtext>，</mtext><mn>2</mn><mspace\; width=".2em"></mspace>\; <mtext>，</mtext><mn>3</mn><mspace\; width=".2em"></mspace>\; <mtext>，</mtext><mi>\cdots </mi><mspace\; width=".2em"></mspace>\; <mtext>）</mtext>$

を満たすとする．$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n\sqrt{n}}}$を求めよ．

【６】　数字の$1$が書かれたカードが$2$枚，$2$が書かれたカードが$3$枚，$3$が書かれたカードが$4$枚の計$9$枚のカードがある．この$9$枚のカードのすべてを横一列に並べるとき，次の問いに答えよ．

(1)　並べ方は全部で何通りあるか．

(2)　数字の$3$が書かれたカードが隣り合わないような並べ方は何通りあるか．

(3)　同じ数字が書かれたカードが隣り合わないような並べ方は何通りあるか．

【７】　$t$を実数とし，座標空間内の$2$点$\mathrm{P}$$(0,0,t^2-1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(t,1,e^t+e^{-t}-e-e^{-1})$を考える．$t$を$-1\leqq t\leqq 1$の範囲で動かすとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる曲面および$2$平面$y=1\text{，}$$z=0$で囲まれてできる立体の体積を求めよ．