2023　信州大学　前期　理（数学科）学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$

の増減と$y=f(x)$のグラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$は用いてよい．

(2)　次を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ．

$m^n=n^m$かつ$m<n$

【２】　$a$を実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$に対して，条件

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|+\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+a=0$$\cdots \text{(＊)}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標が$(0,-1)$で$a=-2$のとき，点$\mathrm{P}$が条件(＊)を満たしながら動いてできる図形を$xy$平面に図示せよ．

(2)　$a>0$とする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が条件(＊)を満たして働くとき，点$\mathrm{Q}$の動く範囲を$xy$平面に図示せよ．

【３】　群に分けられた数列

$a_1\left|a_2{a}_3\right|a_4{a}_5{a}_6|\cdots$

は，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たしているとする．

(ⅰ)　第$1$群は$a_1$のみからなる．また$n$を$2$以上の自然数とするとき，第$n$群は項数が$n$であるような等差数列であり，その公差は$n$によらない定数$d$である．

(ⅱ)　自然数$n$に対し，第$n$群の最後の項を$b_n$とし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とおくとき，

$S_n={\displaystyle \frac{d+1}{2}}{n}^2+{\displaystyle \frac{1-d}{2}}n$

が成り立つ．

(ⅲ)　自然数$n$に対し，第$n$群に含まれる項の和を$T_n$とおくとき，

$T_n=4n^2-3n$

が成り立つ．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$d$の値を求めよ．

(2)　$k$を自然数とする．次の条件を満たすような$m$をすべて求めよ．

第$m$群は$7k-6$を含む．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$L$を$2$以上の自然数とする．各辺の長さが自然数で，$3$辺の長さの和が$4L$である二等辺三角形の個数$N(L)$を求めよ．ただし，合同な三角形は同じとみなし，重複して数えない．

(2)　(1)のような$N(L)$個の二等辺三角形の面積の平均値を$S(L)$とする．このとき，極限

$\underset{L\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(L)}{L^2}}$

を求めよ．

【５】　実数$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．$2$つの関数$x(t)$と$y(t)$を次で定義する．

$x(t)=\cos (\theta +(\pi -2\theta )t)\text{，}$$y(t)=\sin (\theta +(\pi -2\theta )t)$

このとき次の問いに答えよ．

(1)　次の定積分の値を$\theta$を用いて表せ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\{x^{\prime }(t)\}}^2+{\{y^{\prime }(t)\}}^2}}{y(t)}}\mathit{dt}$

(2)　(1)の定積分の値を$f(\theta )$とおくとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$f(\theta )\leqq {\displaystyle \frac{2}{\tan \theta }}$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$