2023　信州大学　後期　理学部MathJax

【１】　$n$を自然数とする．数直線上で原点を出発点として点$\mathrm{P}$を動かす．$1$個のさいころを投げて出た目が$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$ならば正の向きに$1$だけ進め，出た目が$5\text{，}$$6$ならば負の向きに$1$だけ進める．この試行を$2n$回繰り返すとき，点$\mathrm{P}$の座標が$x$である確率を$p(x)$と表す．次の問いに答えよ．

(1)　$p(2n-2)$を求めよ．

(2)　$k$は$-n\leqq k\leqq n-1$を満たす整数とする．このとき，${\displaystyle \frac{p(2k+2)}{p(2k)}}\leqq 1$となる$k$の条件を求めよ．

(3)　$m$を自然数とし，$n=3m+1$とする．$-n\leqq k\leqq n$の範囲で，$p(2k)$が最大となる整数$k$をすべて求め，$m$を用いて表せ．

【２】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は同一直線上にはないとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし，$\alpha =\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\beta =\left|\overrightarrow{b}\right|$とおく．また，線分$\mathrm{AB}$を$\alpha :\beta$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\gamma =\left|\overrightarrow{c}\right|$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=p$かつ$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=q$であるとき，${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$を$p$と$q$を用いて表せ．

(2)　$\alpha +\beta =\alpha \beta$かつ$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}={\gamma }^2$であるとき，$\alpha$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{-{(\alpha \beta )}^2}{\alpha +\beta }}$を満たしながら働くとき，${\gamma }^2$の最大値を求めよ．

【３】　$p>0$とする．放物線$C_1\text{：}y=x^2$上の$2$点$\mathrm{P}$$(-2,4)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(2p,4p^2)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする三角形の面積を$T(p)$とする．また，点$\mathrm{Q}$で直線$\mathrm{QP}$に接する放物線$C_2\text{：}y=-x^2+bx+c$と放物線$C_1$で囲まれた部分の面積を$S(p)$とする．$p>0$の範囲で，${\displaystyle \frac{S(p)}{T(p)}}$の最小値とそのときの$p$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-x-2}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

(2)　次の条件を満たす実数$a$をすべて求めよ．

$x\leqq a$の範囲で，$f(x)$の最大値は${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．

(3)　次の条件を満たす実数$b$をすべて求めよ．

$b\leqq x\leqq b+{\displaystyle \frac{3}{2}}$の範囲で，$f(x)$の最大値は$-{\displaystyle \frac{4}{9}}\text{，}$最小値は$-{\displaystyle \frac{4}{5}}$である．