2023　信州大学　後期　工,繊維学部MathJax

【１】　すべての項が正である数列$\{a_n\}$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．すべての自然数$n$について，$S_n^2={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k^3$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$と$a_2$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$について，$S_{n+1}+S_n=a_{n+1}^2$が成り立つことを示せ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】　$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{11}\text{，}$$\mathrm{CA}=2$である三角形$\mathrm{ABC}$について，$\mathrm{\angle BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．また，実数$s$は$s>1$を満たすとする．$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=s\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を満たす点$\mathrm{E}$が$\mathrm{BC}$を直径とする円周上にあるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めよ．

(2)　$s$の値を求めよ．

【３】　$a$は正の実数とする．曲線$y=a\cos x$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分を$C_1$とし，曲線$y=\sin x$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分を$C_2$とする．$C_1\text{，}$$C_2$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$S$とし，$C_1\text{，}$$C_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積を$T$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S$と$T$を$a$を用いて表せ．

(2)　$S=T$となるとき，$a$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=(x+6)e^{\frac{1}{x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }\{f(x)-(ax+b)\}=0$が成り立つような定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．