2023　信州大学　推薦　繊維(機械・ロボット学科)学部MathJax

【１】　初項$a_1=1$の数列$\{a_n\}$がある．数列$\{a_n\}$の初項から$n$項までの和を$S_n$とする．数列$\left\{{\displaystyle \frac{S_n}{a_n}}\right\}$が公差${\displaystyle \frac{1}{2}}$の等差数列であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　数列$\left\{{\displaystyle \frac{S_n}{a_n}}\right\}$の一般項を求めなさい．

(2)　$a_n$を$a_{n-1}$を用いて表しなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{S_1}}+{\displaystyle \frac{1}{S_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{S_n}}\leqq 2$を証明しなさい．

【２】　不等式$y+{\displaystyle \frac{1}{3}}x\geqq -3\text{，}$$y-x\leqq -7\text{，}$$y+{\displaystyle \frac{7}{5}}x\leqq {\displaystyle \frac{49}{5}}$を満たす$xy$平面内の領域を$D$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　解答用紙の$xy$座標平面上に領域$D$を図示すると共に，領域$D$の各頂点とその座標を記しなさい．

(2)　領域$D$の面積を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，${\displaystyle \frac{y}{x}}$が取りうる最大値と最小値を求めなさい．