2023　信州大学　推薦　繊維（化学・材料学科）学部MathJax

【１】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{AC}=1+\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=120\mathrm{°}$とする．また，$\mathrm{\angle BAC}$の$2$等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．以下の設問(1)〜(3)にこたえよ．

(1)　$\mathrm{BC}$の長さの$2$乗を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

(3)　$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

【２】　次の$\text{①}$を既知として設問(1)および(2)にこたえよ．途中経過や計算も示すこと．

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$$\text{①}$

(1)　以下の$\text{②}$が極限値を持つときの$K$の値を求めよ．また，そのときの極限値を求めよ．

$\text{②}$

(2)　次に示す導関数の定義と$\text{①}$の極限値を用いて，関数$\sin x$の導関数を求めよ．

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

必要に応じて，以下の三角関数の公式を使ってもよい．

$\sin A-\sin B=2\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$

【３】　$1$から$n$までの整数が$1$つずつ書かれた玉が$n$個入っている袋がある．以下の設問(1)〜(3)にこたえよ．

(1)　$n=10$とする．袋から玉を$2$つ同時に取り出すとき，玉の数字の合計が$15$以上の奇数となる取り出し方は何通りあるか．

(2)　$n=8$とする．袋から玉を$1$つずつ順に$2$つ取り出すとき，$2$つめの玉の数字が$1$つめの玉の数字の$2$倍または$4$倍となる確率を求めよ．

(3)　$n=6$とする．袋から玉を$4$つ同時に取り出し，玉の数字の最大値を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．