2023　岐阜大学　前期MathJaxMathJax

【１】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OP}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{QG}}$を$s\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{QG}}$であるとき，$s$の値を求めよ．

(3)　$s$を(2)で求めた値とするとき，$\mathrm{▵OQG}$の面積を求めよ．

(4)　$s$を(2)で求めた値とするとき，$\tan (\mathrm{\angle OGQ}+\mathrm{\angle OPG})$の値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=(\sqrt{2}-1)a_n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，$a_n$は整数$p_n\text{，}$$q_n$を用いて

$a_n=p_n+\sqrt{2}{q}_n$

と表せる．以下の問に答えよ．

(1)　$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$q_1\text{，}$$q_2$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}\text{，}$$q_{n+1}$を$p_n$と$q_n$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　$b_n=a_n-(2+\sqrt{2})$とする．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．また，$b_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　$c_n=p_n-\sqrt{2}{q}_n$とする．$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ．

(5)　$p_n\text{，}$$q_n$を$n$を用いてそれぞれ表せ．

【３】　右図のように，縦$2$列，横$3$列に並んだ$6$つのマスがある．また，$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$の$6$個の数字がそれぞれ書かれたカードが$1$枚ずつある．すべてのカードを各マスに$1$枚ずつ置いていき，$6$つのマスに$6$枚のカードを並べる．上列の$3$つの数の積を$a_1\text{，}$下列の$3$つの数の積を$a_2\text{，}$左列の$2$つの数の積を$b_1\text{，}$中央列の$2$つの数の積を$b_2\text{，}$右列の$2$つの数の積を$b_3$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$a_1$が奇数となるような$6$枚のカードの並べ方は何通りあるか．

(2)　$a_1$が偶数となるような$6$枚のカードの並べ方は何通りあるか．

(3)　$b_1$が偶数となるような$6$枚のカードの並べ方は何通りあるか．

(4)　$a_1\text{，}$$a_2$がともに偶数となるような$6$枚のカードの並べ方は何通りあるか．

(5)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3$がすべて偶数となるような$6$枚のカードの並べ方は何通りあるか．

【４】　$f(x)=x{e}^x\text{，}$$g(x)=x^2{e}^x$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．$f(x)\text{，}$$g(x)$の第$n$次導関数をそれぞれ$f^{(n)}(x)\text{，}$$g^{(n)}(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$f^{(1)}(x)\text{，}$$f^{(2)}(x)\text{，}$$f^{(3)}(x)$を求めよ．

(2)　$f^{(n)}(x)$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．また，曲線$y=f^{(n)}(x)$と$x$軸の共有点の個数を求めよ．

(3)　$g^{(n)}(x)$は，実数$p_n\text{，}$$q_n$を用いて$g^{(n)}(x)=(x^2+p_{n}x+q_n)e^x$と表せることを数学的帰納法を用いて示せ．

(4)　$g^{(n)}(x)$を求めよ．また，曲線$y=g^{(n)}(x)$と$x$軸の共有点の個数を求めよ．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする複素数平面上で，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}$となる点$\mathrm{A}$をとる．点$\mathrm{A}$を$\mathrm{O}$を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点を$\mathrm{B}$とする．このとき，正三角形となる$\mathrm{▵OAB}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を表す複素数をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$とする．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{▵OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{G}$を表す複素数を，それぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{G}$を表す複素数の実部が正，虚部が$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$であるとき，$\alpha +\beta$の虚部を求めよ．さらに，$\alpha +\beta$の実部を求めよ．

【４】　$p$を実数とし，$f(x)=x^3-3x^2+p$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，$p$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$f(1)=0$のとき，$p$が(2)で求めた範囲にあることを示せ．

(4)　(3)のとき，方程式$f(x)=0$の$1$以外の実数解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <1<\beta \text{）}$とする．$\alpha +\beta \text{，}$$\alpha \beta$の値を求めよ．

(5)　(4)のとき，$\alpha \leqq x\leqq 1$において$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$1\leqq x\leqq \beta$において$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となることを示せ．

【５】　$n\text{，}$$x$を$2$以上の整数とする．各$n$に対して，

$-1\leqq {\log }_{n}x-6{\log }_{x}n\leqq 1$$\cdots \text{(＊)}$

をみたす$x$の個数$S_n$を考える．以下の問に答えよ．

(1)　${\log }_{2}k-6{\log }_{k}2=-1$をみたす$2$以上の整数$k$を求めよ．

(2)　$n=2$のとき(＊)をみたし，かつ${\log }_{2}x$が整数となる$x$をすべて求めよ．

(3)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　$10\leqq S_n\leqq 100$となる$n$をすべて求めよ．