2023　岐阜大学　後期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を$xy$平面の原点とする．楕円$x^2+2y^2=2$を$C$とする．第$1$象限内の$C$上に点$\mathrm{P}$をとり，その座標を$\mathrm{P}$$(p,q)$とする．さらに，第$2$象限内の$C$上に点$\mathrm{S}$を$\mathrm{OP}\perp \mathrm{OS}$となるようにとり，その座標を$\mathrm{S}$$(s,t)$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$s^2\text{，}$$t^2$を$p\text{，}$$q$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$u=p^2$とおく．${\mathrm{OP}}^2\cdot {\mathrm{OS}}^2$を$u$を用いて表せ．また，$\mathrm{▵OPS}$の面積$A$を$u$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}$が第$1$象限内の$C$上を動くとき，$A$の最小値を求めよ．

【２】　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}\mathit{dt}$

を考える．以下の問に答えよ．

(1)　$x=\tan y$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<y<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と表すとき，$f(x)=y$が成り立つことを示せ．

(2)　曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}$$(\sqrt{3},f(\sqrt{3}))$における接線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた接線と曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \sqrt{3}\text{）}$の共有点が点$\mathrm{P}$だけであることを示せ．

(4)　(2)で求めた接線と$y$軸，および曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \sqrt{3}\text{）}$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　定積分

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^x\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．ただし，$e$を自然対数の底とする．以下の問に答えよ．

(1)　$I_1\text{，}$$I_2$を求めよ．

(2)　$I_n$は$2$つの整数$a_n\text{，}$$b_n$を用いて$I_n=a_n+b_{n}e$と表せることを数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　(2)における$b_n$について，$n\geqq 3$のとき，$b_n$は$n-1$の倍数であることを示せ．

(4)　$I_6\text{，}$$I_7$を求めよ．また，$2.71<e<2.72$を示せ．

【４】　$r$を$0<r<{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす実数とする．数列$\{a_n\}$が以下の条件をみたすとする．

$a_1=a_2=1\text{，}$$a_{n+2}{a}_n={a_{n+1}}^2-r^n{a}_{n+1}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，$a_n>0$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つ．以下の問に答えよ．

(1)　$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$で定める．$b_{n+1}-b_n$を$r\text{，}$$n$を用いて表せ．また，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，$b_n\leqq 1-r$が成り立つことを示せ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【５】　$k\text{，}$$m$を実数とする．$y=kx-k^2-m$で表される$xy$平面内の直線を$l$とする．$k$が実数全体を動くとき，$l$が通過する領域を$D_m$とする．点$(x,y)$が領域$D_m$全体を動くとき，$x^2+y^2$は最小値をもつ．その最小値を$S(m)$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$l$が原点を通るような$k$が存在するための$m$の条件を求めよ．

(2)　領域$D_m$を不等式を用いて表せ．

(3)　$S(4)$の値と，その値をとるときの点$(x,y)$をすべて求めよ．

(4)　$S(m)$を求めよ．