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2023-10461-0101
2023 静岡大学 前期
理(数学科)学部
配点25%
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f⁡ (x) =x3 ⁢e- x2 について,次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.必要ならば lim n→∞ x3e x2 =0 を用いてもよい.
(1) 関数 f ⁡(x ) の増減を調べ,極値を求めよ.
(2) a>0 とする.方程式 e x2 -a⁢ x3= 0 の実数解の個数を求めよ.
(3) 曲線 y =f⁡( x) と x 軸および直線 x =2 で囲まれた図形の面積を求めよ.
2023-10461-0102
理(数,物理,化学科,創造理学コース),工,情報学部
配点25%
【2】 n を自然数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) すべての n に対して,不等式 n <( 3 2) n が成り立つことを示せ.
(2) limn →∞ n⁢ ( 35 )n =0 が成り立つことを示せ.
(3) すべての n に対して,不等式 n ⁢(n +1) 2< 3⁢ ( 32 )n -3 が成り立つことを示せ.
(4) limn →∞ n2 ⁢( 3 5) n=0 が成り立つことを示せ.
2023-10461-0103
【3】 ▵ABC において,辺 BC , CA , AB を 1 :2 に内分する点をそれぞれ A1 , B 1 , C1 とし,線分 A A1 と線分 B B1 の交点を A2 , 線分 B B1 と線分 C C1 の交点を B2 , 線分 C C1 と線分 A A1 の交点を C2 とする. ▵ABC , ▵ A2 B2 C2 の面積をそれぞれ S , S2 とする.また, AB→ =a→ , AC→ =b→ とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) ベクトル A A1 → , A A2 → , A C2 → をそれぞれ a→ , b→ を用いて表せ.
(2) ▵BA C2 の面積と ▵B A2 C2 の面積は等しいことを示せ.
(3) 面積比 S :S2 を求めよ.
2023-10461-0104
理,工,情報,農,教育,グローバル共創科学部
理(生物,地球科学科),農,教育,グローバル共創科学部は【3】
配点は理(数,物理,化学科,創造理学コース),工,情報学部25%,理(生物,地球科学科),農,教育,グローバル共創科学部35%
【4】 箱の中に 15 本のくじが入っている.そのうち, 5 本が当たりくじで, 10 本がはずれくじである.箱の中からくじを 1 本引いて当たりかはずれかを確認し,引いたくじを箱に戻す試行を考える.この試行をくり返し,次の条件(a)または(b)が満たされた時点で終了する.
(a) 当たりくじを合計 3 回引く
(b) はずれくじを連続して 3 回引く
このとき,次の問いに答えよ.
(1) ちょうど 4 回でくじ引きが終了する確率を求めよ.
(2) ちょうど 5 回でくじ引きが終了する確率を求めよ.
(3) ちょうど 7 回でくじ引きが終了する確率を求めよ.
2023-10461-0105
理(物理,化学科,創造理学コース),工,情報学部
【1】 2 つの関数
f⁡( x)= (x- 1)⁢ (x -4) 2 , g⁡( x)= |( x-1 )⁢ (x- 4) |⁢ (x- 4)
について,次の問いに答えよ.
(1) y=f⁡ (x ) の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べ,そのグラフの概形を描け.
(2) x=4 における g ⁡( x) の微分係数 g ′⁡( 4) を微分係数の定義にしたがって求めよ.
(3) 実数 c に対して,方程式 g ⁡(x )=c の実数解の個数を求めよ.
(4) 定積分 ∫02 g⁡ (x) ⁢dx の値を求めよ.
2023-10461-0106
理(生物,地球科学科),農,教育,グローバル共創科学部
配点30%
【1】 座標平面上の 3 点 A (1, 0) , B (14 ,0) , C (5 ,3) を頂点とする ▵ABC について,次の問いに答えよ.
(1) ▵ABC の重心の座標を求めよ.
(2) ▵ABC の外心の座標を求めよ.
(3) ▵ABC の内心の座標を求めよ.
2023-10461-0107
配点35%
【2】 数列 { an } が
a1 =1 , an+ 1=2 ⁢an -n2 +n+2 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定められるとき,次の問いに答えよ.
(1) bn= an- n2- n とおくとき, bn+ 1 を b n を用いて表せ.
(2) 数列 { bn } の一般項 b n を求めよ.
(3) 数列 { an } の一般項 a n を求めよ.
(4) 数列 { an } の初項から第 n 項までの和 S n を求めよ.