2023　静岡大学　後期MathJax

【１】　自然数$n$に対して${(1+\sqrt{2})}^n$を

${(1+\sqrt{2})}^n=x_n+y_n\sqrt{2}$$\text{（}{x}_n\text{，}$$y_n$は自然数）

と表す．（ただし，このような自然数$x_n\text{，}$$y_n$が一意に定まることは認めてよい．）また，$z_n=x_n^2-2y_n^2$とおく．数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}\text{，}$$\{z_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$x_{n+1}\text{，}$$y_{n+1}$を，$x_n\text{，}$$y_n$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$z_{n+1}$を$z_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{z_n\}$の一般項$z_n$を求めよ．

(4)　方程式$x^2-2y^2=1$を満たす自然数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$を$4$組求めよ．

【２】　$2$つの正の数$c\text{，}$$d$に対して，座標空間の$4$点$\mathrm{A}$$(2,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(c,0,-2c)\text{，}$$\mathrm{D}$$(d,-d,d)$を考える．$\mathrm{▵ABC}$は正三角形とし，$\mathrm{\angle ABD}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$c\text{，}$$d$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とする．点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　実数$p\text{，}$$q$に対して，方程式$x^3+px+q=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．ここで，$\alpha$は重解とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q$および$\beta$を，それぞれ$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$\alpha =2$のとき$x^3+px+q>0$となる実数$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　$\alpha =2$とする．曲線$y=x^3+px+q$と直線$y=3x+t$の共有点がちょうど$2$個であるとき，$t$の値とそのときの$2$つの共有点の座標を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}$$b$は$1<a<b$を満たすとする．$0\leqq x\leqq 1$で定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(a^x{b}^{1-x}+a^{1-x}{b}^x)$

に対して，次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(1)　$1$ではない正の実数$c$に対して${(c^x)}^{\prime }=c^x\log c$であることを，対数微分法を用いて示せ．

(2)　第$1$次導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$をそれぞれ求めよ．

(3)　関数$f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(5)　次の不等式が成り立つことを示せ．

$\sqrt{ab}\leqq {\displaystyle \frac{b-a}{\log b-\log a}}\leqq {\displaystyle \frac{a+b}{2}}$

【５】　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$は正三角形であるとする．また，$\omega ={\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$に対しては${\omega }^n\ne 1$であり，かつ${\omega }^6=1$であることを示せ．

(2)　${\omega }^2-\omega +1=0$であることを示せ．

(3)　${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta$であることを示せ．

(4)　$\alpha =2-i\text{，}$$\beta =5+i$のとき，$\gamma$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【３】　正の数に対して，次の$2$つの不等式を考える．

$x^2+2x-k>0$$\cdots \text{①}$

$x^2-k^2<0$$\cdots \text{②}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\text{①}$を満たす実数$x$の値の範囲を$k$を用いて表せ．

(2)　$\text{①}$と$\text{②}$を同時に満たす実数$x$の値の範囲を$k$を用いて表せ．

(3)　$\text{①}$と$\text{②}$を同時に満たすような整数$x$は$x=1$のみとなる$k$の値の範囲を求めよ．

(4)　$\text{①}$と$\text{②}$を同時に満たすような整数$x$は$x=2$のみとなる$k$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }x\log x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$t$を実数とするとき定積分

$I(t)={\displaystyle {\int }_1^e}x|\log x-t|\mathit{dx}$

を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(3)　実数$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，$I(t)$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された$2$つの関数$f(x)=1+2\cos x\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の共有点の$x$座標をすべて求めよ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，不等式$f(x)\geqq g(x)>0$が成り立つことを示せ．

(3)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．