2023　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】　以下の枠内の問題

に対する次の答案$\mathrm{A}$に対して，$2$つの下線部(a)および(b)の詳しい証明を与えよ．ただし，$2$つの二重線部の事実は証明なしに用いてよい．

《編注》二重線は，原点では波線．

【２】　医療で使われる技術の$1$つとして，磁気共鳴画像法（MRI）がある．MRIは画像の濃淡を表す関数，例えば

$M(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }{I}_n(x)$$\text{（}x$は実数）

を用いて体内の様子を可視化する技術である．ここで，$I_n(x)$は

$I_n(x)={\displaystyle {\int }_0^n}{e}^{-t}\cos (tx)\mathit{dt}$$\text{(}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．以下の問いに答えよ．

(1)　定積分$I_n(x)$を求めよ．

(2)　極限$M(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n(x)$を求めよ．

(3)　関数$y=M(x)$について，増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

【３】　$S$を実部，虚部ともに整数であるような$0$以外の複素数全体の集合，$T$を偏角が$0$以上${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$未満であるような$S$の要素全体の集合とする．ただし，複素数$z$の偏角を$\arg z$とするとき$0\leqq \arg z<2\pi$の範囲で考えることとする．また，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha =2\text{，}$$\beta =1+i\text{，}$$\gamma =1$のとき，$|\alpha \beta \gamma |$の値を求めよ．

(2)　複素数$z$について，$\arg z={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$のとき$\arg (iz)$の値を求めよ．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を$T$の要素とする．このとき，$0<|\alpha \beta \gamma |\leqq \sqrt{5}$を満たす$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の組の総数$k$の値を求めよ．

(4)　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を$S$の要素とする．このとき，$0<|\alpha \beta \gamma |\leqq \sqrt{5}$および

${\displaystyle \frac{\pi }{8}}\leqq \arg (\alpha \beta \gamma )<{\displaystyle \frac{5}{8}}\pi$

を満たす$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の組の総数を$m$とするとき，$m$を$k$で割った商と余りを求めよ．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c\text{，}$$\mathrm{\angle ACB}=\theta$とする．$b$と$c$を素数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$b=3\text{，}$$c=5$のとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$\cos \theta <0$のとき，$c=b+2$が成り立つことを示せ．

(3)　$-{\displaystyle \frac{5}{8}}<\cos \theta <-{\displaystyle \frac{7}{12}}$のとき，$b$と$c$の値の組をすべて求めよ．