2023　名古屋大学　前期MathJax

【１】　実数係数の$4$次方程式$x^4-p{x}^3+q{x}^2-rx+s=0$は相異なる複素数$\alpha \text{，}$$\bar{\alpha }\text{，}$$\beta \text{，}$$\bar{\beta }$を解に持ち，それらは全て複素数平面において，点$1$を中心とする半径$1$の円周上にあるとする．ただし$\bar{\alpha }\text{，}$$\bar{\beta }$はそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$と共役な複素数を表す．

(1)　$\alpha +\bar{\alpha }=\alpha \bar{\alpha }$を示せ．

(2)　$t=\alpha +\bar{\alpha }\text{，}$$u=\beta +\bar{\beta }$とおく．$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$をそれぞれ$t$と$u$で表せ．

(3)　座標平面において，点$(p,s)$のとりうる範囲を図示せよ．

【２】　$0<b<a$とする．$xy$平面において，原点を中心とする半径$r$の円$C$と点$(a,0)$を中心とする半径$b$の円$D$が$2$点で交わっている．

(1)　半径$r$の満たすべき条件を求めよ．

(2)　$C$と$D$の交点のうち$y$座標が正のものを$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標$h(r)$を求めよ．

(3)　$\mathrm{Q}$$(r,0)$と点$\mathrm{R}$$(a-b,0)$をとる．$D$の内部にある$C$の弧$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{QR}\text{，}$および線分$\mathrm{RP}$で囲まれる図形を$A$とする．$xyz$空間において$A$を$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V(r)$を求めよ．ただし，答えに$h(r)$を用いてもよい．

(4)　$V(r)$の最大値を与える$r$を求めよ．また，その$r$を$r(a)$とおいたとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }(r(a)-a)$を求めよ．

【３】(1)　方程式$e^x={\displaystyle \frac{2x^3}{x-1}}$の負の実数解の個数を求めよ．

(2)　$y=x(x^2-3)$と$y=e^x$のグラフの$x<0$における共有点の個数を求めよ．

(3)　$a$を正の実数とし，関数$f(x)=x(x^2-a)$を考える．$y=f(x)$と$y=e^x$のグラフの$x<0$における共有点は$1$個のみであるとする．このような$a$がただ$1$つ存在することを示せ．

【４】　$n$を正の整数とし，$n$次の整式$P_n(x)=x(x+1)\cdots (x+n-1)$を展開して$P_n(x)={\displaystyle \sum _{m=1}^n}{}_{n}B_m{x}^m$と表す．

(1)　等式${\displaystyle \sum _{m=1}^n}{}_{n}B_m=n!$を示せ．

(2)　等式

$P_n(x+1)={\displaystyle \sum _{m=1}^n}({}_{n}B_m\cdot {}_{m}C_0+{}_{n}B_m\cdot {}_{m}C_{1}x$$+\cdots +{}_{n}B_m\cdot {}_{m}C_m{x}^m)$

を示せ．ただし，${}_{m}C_0\text{，}$${}_{m}C_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${}_{m}C_m$は二項係数である．

(3)　$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対して，等式${\displaystyle \sum _{j=k}^n}{}_{n}B_j\cdot {}_{j}C_k={}_{n+1}B_{k+1}$を示せ．

【１】　$a$を実数とし，$2$つの関数$f(x)=x^3-(a+2)x^2$$+(a-2)x$$+2a+1$と$g(x)=-x^2+1$を考える．

(1)　$f(x)-g(x)$を因数分解せよ．

(2)　$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点が$2$個であるような$a$を求めよ．

(3)　$a$は(2)の条件を満たし，さらに$f(x)$の極大値は$1$よりも大きいとする．$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを同じ座標平面に図示せよ．

【２】　図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の長さを$p$とする．このとき，線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{FP}$は四角形$\mathrm{ADGF}$上で交わる．その交点を$\mathrm{X}$とする．

(1)　線分$\mathrm{AX}$の長さを$p$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{APX}$の面積を$p$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{ABPX}$と四面体$\mathrm{EFGX}$の体積の和を$V$とする．$V$を$p$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AD}$上で動かすとき，$V$の最小値を求めよ．

【３】　数字$1$が書かれた球が$2$個，数字$2$が書かれた球が$2$個，数字$3$が書かれた球が$2$個，数字$4$が書かれた球が$2$個，合わせて$8$個の球が袋に入っている．カードを$8$枚用意し，次の試行を$8$回行う．

袋から球を$1$個取り出し，数字$k$が書かれていたとき，

・残っているカードの枚数が$k$以上の場合，カードを$1$枚取り除く．

・残っているカードの枚数が$k$未満の場合，カードは取り除かない．

(1)　取り出した球を毎回袋の中に戻すとき，$8$回の試行のあとでカードが$1$枚だけ残っている確率を求めよ．

(2)　取り出した球を袋の中に戻さないとき，$8$回の試行のあとでカードが残っていない確率を求めよ．