2023　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の曲線$C$を次で定める．

$C\text{：}\{\begin{array}{l}x=\theta -2\sin \theta \\ y=2-2\cos \theta \end{array}$$\text{(}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

(1)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標の値の範囲を求めよ．

(2)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　(2)の図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を次で定める．

$a_1=1\text{，}$$\{\begin{array}{l}{a}_{2n}=3a_{2n-1}-n\\ a_{2n+1}=a_{2n}+1\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_5$を求めよ．

(2)　$b_n=a_{2n+1}-a_{2n-1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$a_{2n+1}$を求めよ．

(4)　$a_{199}$の桁数を求めよ．ただし，

${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$

とする．

【３】　三角錐$\mathrm{OABC}$は

$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{AC}=7\text{，}$$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=8$

をみたしている．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に垂線$\mathrm{CH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　平面$\mathrm{OAB}$において，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線$\mathrm{BK}$を下ろす．このとき${\displaystyle \frac{\mathrm{OK}}{\mathrm{OA}}}$を求めよ．

(4)　平面$\mathrm{OAB}$上の直線$l$は，点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$とのなす角が$\mathrm{\angle OAB}$と等しく，直線$\mathrm{AB}$とは異なる．$l$と直線$\mathrm{OH}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OH}}}$を求めよ．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^3+x^2-4x-3}{x^2-3}}$

に関する次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$m$を定数とするとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=mx+1$の共有点の個数を求めよ．