2023　名古屋工業大学　後期MathJax

【１】　$2$つの曲線

$\begin{array}{ll}{C}_1\text{：}y=2x^2& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{x\sqrt{x}+3}{2}}& \text{（}x\geqq 0\text{）}\end{array}$

を考える．曲線$C_1$と$C_2$の共有点はただ$1$つである．$C_1$と$C_2$および$y$軸で囲まれた図形を$D$とおく．

(1)　曲線$C_1$と$C_2$の共有点を求めよ．

(2)　図形$D$の面積$S$を求めよ．

(3)　$f(x)=x\sqrt{x^2+1}+\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．

(4)　図形$D$の周の長さ$L$を求めよ．

【２】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x}}\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{x}{x-1}}$

がある．$a_0={\displaystyle \frac{1}{3}}$とし，コインを$n$回投げて，数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$を

$\{\begin{array}{l}k\text{回目に表が出たときに}{a}_k=f(a_{k-1})\\ k\text{回目に裏が出たとき}{a}_k=g(a_{k-1)}\end{array}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

で定める．

(1)　$n=2$のとき，$a_2=-2$である確率を求めよ．

(2)　$n=3$のとき，$a_3=-2$である確率を求めよ．

(3)　コインを投げた回数$n$が$3$以上のとき，$a_n$の取り得る値をすべて求めよ．

(4)　$n$回のうち表の出た回数が$1$であったとき，$a_n=-2$である条件つき確率を求めよ．

【３】　座標空間内に次の$4$点がある．

$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,-1,1)\text{，}$$\mathrm{C}(-1,1,-1)\text{，}$$\mathrm{D}(1,-1,-1)$

$t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{CE}}=t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$により点$\mathrm{E}$を定める．$\mathrm{BE}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，三角形$\mathrm{ADF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V_1$を求めよ．

(2)　$\mathrm{G}$の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{BG}$を最小にする$t$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$t$に対し，三角形$\mathrm{BDE}$の外接円の半径を求めよ．

(5)　(3)で求めた$t$に対し，四面体$\mathrm{ABDE}$の体積$V_2$を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，実数$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に対し，次の条件をみたす点$\mathrm{P}$をとる．

・点$\mathrm{P}$は第$1$象限にある

・直線$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角は$\theta$

・線分$\mathrm{OP}$の中点$\mathrm{M}$を通り，直線$\mathrm{OP}$に垂直な直線を$l$とする．$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{QR}=1$

$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で動かしたときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．

(1)　長さ$\mathrm{OM}$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$の$x$座標の値の範囲を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$における$C$の接線の傾きが$1$であるとき，${\displaystyle \frac{y}{x}}$の値を求めよ．