2023　豊橋技術科学大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とする．この数列$\{a_n\}$が，すべての自然数$n$に対して

$S_n={\displaystyle \frac{8-a_n}{3}}$

を満たすとき，以下の問いに答えよ．

ア．$a_1$を求めよ．

イ．数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

ウ．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

エ．$S_n>2.65$となる最小の自然数$n$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　次の極限を求めよ．

ア．$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2+4x+5}-x+2)$

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　次の極限を求めよ．

イ．$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos 4x}{4x\sin 3x}}$

【２】　$a$を実数の定数とする．$2$つの曲線$y=x^2\text{，}$$y=\log x+a$が共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$において共通の接線$L$をもつとする．また，点$\mathrm{P}$を通り接線$L$と垂直に交わる直線を$N$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　定数$a$の値を求めよ．

(2)　接線$L$の方程式を求めよ．

(3)　直線$N$の方程式を求めよ．

(4)　接線$L\text{，}$直線$N\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積$S$を求めよ．

(5)　原点$\mathrm{O}$を通り，(4)で求めた図形$D$の面積$S$を$2$等分する直線の方程式を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x+2\sin x$の第$1$次導関数$y^{\prime }$と第$2$次導関数$y^{″}$を求めよ．

(2)　関数$y=x+2\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の極値を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }x\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　曲線$y=x+2\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$と直線$y=x$で囲まれた$2$つの部分を，それぞれ$x$軸の周りに$1$回転させてできる$2$つの立体の体積の和$V$を求めよ．

【４】　袋$\mathrm{A}$には白玉$4$個，赤玉$2$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$5$個，赤玉$3$個が入っている．以下の問いに答えよ．ただし，答えが分数になるときは既約分数で答えよ．

(1)　袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出す．このとき，取り出した玉が白玉である確率を求めよ．

(2)　袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出し，それをもとに戻さないで，続いて袋$\mathrm{A}$から玉をもう$1$個取り出す．このとき，取り出した玉が$2$個とも白玉である確率を求めよ．

(3)　袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出し，色を調べてからもとに戻す．この試行を$5$回続けて行うとき，$5$回目に$3$度目の白玉が出る確率を求めよ．

(4)　袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜる．次に，袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$の白玉の個数が$4$個である確率を求めよ．

(5)　袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜる．次に，袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れ，よくかき混ぜる．そして，袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出すとき，それが白玉である確率を求めよ．